Ejercicio :(Junio 2010 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Dado el sistema homogéneo de ecuaciones:
\(\displaystyle\begin{cases}x+ky-z=&0\\2x-y+2z=&0 \\x-4y+kz=&0\\\end{cases}\)
a) (1 pto) Determinar para qué valores de \(k\) el sistema tiene soluciones distintas de \(x=y=z=0\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(k=3\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, como es homogéneo, se calculan los Rangos de la matriz asociada al sistema, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &k&-1\\ 2&-1& 2\\ 1&-4& k\end{pmatrix}\)
De forma que, ver cómo se resuelven determinantes, \(|A|=-2(k+\frac 52)(k-3)=0\Rightarrow k=-\frac 52\) y \(k=3\)
De forma que el sistema tendrá solución distinta a la trivial para \(\bbox[yellow]{k=-\frac 52}\) y \(\bbox[yellow]{k=3}\)
b) Para \(k=3\) se tiene que \(\displaystyle\begin{cases}x+3y-z=&0\\2x-y+2z=&0 \\x-4y+3z=&0\\\end{cases}\) y que \(|A|=0\)
Se puede encontrar un menor en \(A\) tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &3 \\2 & -1\end{array}=-4\neq 0\), por lo que \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=2\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible indeterminado si }k=3}\)
Para resolverlo se escoge una de las variables y se le da el valor \(t\) y se despejan las otras en función de este valor, de esta forma se encuentran las infinitas soluciones del sistema, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\begin{cases}x=&-\frac 57 t\\y=&\frac 45 t\\z=t \\\end{cases}}\)
Ejercicio :(Junio 2010 Opción A) (Calificación:2 ptos)
Dadas las matrices
\(A\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& -2\end{pmatrix};\) \(I=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 1\end{pmatrix}\)
a) (1 pto) Hallar las constantes \(a,b\) tales que \(A^2=aA+bI\)
b) (1 pto) Sin calcular explícitamente \(A^3\) y \(A^4\), y utilizando solo la expresión anterior, obtener la matriz \(A^5\)
a) Sustituyendo las matrices en la ecuación matricial, ver ecuaciones matriciales, se tiene
\(\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& -2\end{pmatrix}^2=a\begin{pmatrix}1&1\\ 0& -2\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 1\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}2 &-1\\ -1& 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b &a\\ a& -2a+b\end{pmatrix}\)
Igualando los valores de las matrices se obtendría el resultado, \(\bbox[yellow]{a=-1,\;b=3}\)
Es decir, sustituyendo en la expresión dada en el enunciado, se tendría \(A^2=-A+3I\)
b) Se pide expresar la potencia cinco de la matriz \(A\) sin calcular la potencia dos y tres, sólo teniendo en cuenta la expresión obtenida en el apartado anterior, \(A^2=-A+3I\), es decir, (ver cómo operar con matrices)
\(A^5=A^4.A=(A^2)^2.A=(3I-A)^2.A=(9I^2-6IA+A^2).A=(9I-6A+(3I-A)).A=(12I-7A).A=12A-7A^2=12A-7(3I-A)=19A-21I=19\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& -2\end{pmatrix}-21\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 1\end{pmatrix}=\bbox[yellow]{\begin{pmatrix}-2 &19\\ 19& -59\end{pmatrix}}\)
Ejercicio :(Junio 2010 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Dado el siguiente sistema de ecuaciones: \(\displaystyle\begin{cases}x+ay-z=&a\\ax+2z=&-2 \\x+z=&-2\\\end{cases}\) se pide:
a) (2 ptos) Discutirlo según los valores del parámetro \(a\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(a=0\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &a&-1\\ a&0& 2\\ 1&0& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &a&-1&a\\ a&0& 2&-2\\ 1&0& 1&-2\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=2a-a^2=0\Rightarrow a=0\) y \(a=2\)
– Si \(a\neq 0,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 0,2}\)
– Si \(a=0\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &-1\\ 0& 2\end{array}=2\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(a=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=0,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
– Si \(a=2\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &2\\ 2& 0\end{array}=-4\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),
\(\begin{array}{|crl|}1 &2&2\\ 2& 0& -2\\ 1& 0& -2\end{array}=8\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=2,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
b) Para \(a=0\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x-z=&a\\2z=&-2 \\x+z=&-2\\\end{cases}\)
Para resolverlo se da a una de las variables el valor \(\lambda\) y se despejan las otras dos, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
En este caso, \(\bbox[yellow]{\displaystyle\begin{cases}x=&1\\y=&\lambda \\z=1 \\\end{cases}}\)