Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Dada la matriz:
\(A=\begin{pmatrix}m-1&1&m&1\\ 1&m-1&m&1\\ 1&1&2&m-1\end{pmatrix}\)
se pide:
a) (2 ptos) Estudiar el rango de \(A\) según los valores del parámetro \(m\)
b) (1 pto) En el caso de \(m=0\), resolver el sistema\(A\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices
Tomando un menor \(3\times 3\) de \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}m-1 & 1 & 1\\1 & m-1 & 1\\1 & 1 & m-1\end{array}=m^3-3m^2+4=0\Rightarrow (m+1)(m-2)^2\)
– Si \(m\neq -1,2\), existen menores de orden tres con determinante distinto de cero, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } m\neq -1,2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)
– Si \(m=-1\), todos los menores de orden tres tienen determinante nulo, ver cómo resolver determinantes, por lo tanto, como existe el menor
\(\begin{array}{|crl|}-2& 1\\1 & -2\end{array}=3\neq 0\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{si } m=-1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
– Si \(m=2\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}-2 &1&-1&1\\ 1&-2&-1&1\\ 1&1&2&-2\end{pmatrix}\)
Todos los menores de esa matriz de orden tres y de orden dos son nulos, por lo
tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } m=2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }1}\)
b) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(m=0\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene
\(\begin{pmatrix}-1 &1&0&1\\ 1&-1&0&1\\ 1&1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
Recordando cómo operar con matrices, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
\(\begin{cases}-x+y=&0\\x-y=&0\\x+y+2z=&0\\\end{cases}\)
La primera y la segunda ecuación son proporcionales, de forma que basta una de ellas (y la tercera) para resolverlo, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x-y=&0\\x+y+2z=&0\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=&\lambda\\y+2z=&-\lambda\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&\lambda\\y=&\lambda\\z=&-\lambda\\t=&0\\\end{cases}}\)
Ejercicio :(Septiembre 2010 Opción B) (Calificación:2 ptos)
Dado el sistema:
\(\displaystyle\begin{cases}x+2y-z=&0\\2x-y+z=&3\\\end{cases}\)
se pide:
a) (1 pto) Estudiar la compatibilidad del sistema
b) (0,5 ptos) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta
c) (0,5 ptos) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &2&-1\\ 2&-1& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &2&-1&0\\ 2&-1& 1&3\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) puede ser menor o igual que dos
Recordando cómo se resuelven determinantes, y tomando un menor dos por dos en las matrices, se obtiene
\(\begin{array}{|crl|}1 &2\\ 2&-1\end{array}=-5\neq 0\Rightarrow \hbox{Rango }A^{*}=\hbox{Rango }A=0\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{ el sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para que un sistema sea compatible determinado, los rangos de las matrices \(A\) y \(A^{*}\) tienen que coincidir y ser iguales además al número de incógnitas en el sistema (en este caso, tres), recordar estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
Añadiendo la fila \((0,\; 0,\;1)\) (\((0,\; 0,\;1,\;0)\) en el caso de \(A^{*}\)) se tiene
\(A=\begin{pmatrix}1 &2&-1\\ 2&-1& 1\\0 &0&1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &2&-1&0\\ 2&-1& 1&3\\0 &0&1&0\end{pmatrix}\)
Calculando el determinante de \(A\) se obtiene \(|A|=1\neq 0\), luego, el rango de \(A\) será tres, así como el de \(A^{*}\), y como tres son las incógnitas del sistema, \(\bbox[yellow]{\hbox{si se incluye la fila }(0,\; 0,\;1)\hbox{ el sistema es compatible determinado}}\)
c) Para que el sistema sea incompatible, los rangos de \(A\) y \(A^{*}\) no deben coincidir, ver estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
Lo más sencillo es incluir una ecuación en el sistema que contradiga alguna de las que ya hay, el caso más fácil es incluir una ecuación que sea la suma de las dos ecuaciones existentes excepto es uno de los coeficientes (por ejemplo, el término independiente)
Es decir, \(\displaystyle\begin{cases}x+2y-z=&0\\2x-y+z=&3\\3x+y=&0\\\end{cases}\)
De esta forma, las matrices correspondientes son
\(A=\begin{pmatrix}1 &2&-1\\ 2&-1& 1\\3&1&0\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &2&-1&0\\ 2&-1& 1&3\\3 &1&0&0\end{pmatrix}\)
Estudiando los determinantes de ambas matrices se concluye que \(|A|=0\), por lo que el rango de \(A\) será dos ó uno
En cambio, en la matriz \(A^{*}\) es posible encontrar el menor \(\begin{array}{|crl|}1 &2&0\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& 0\end{array}\neq 0\)
Luego, el determinante de \(A^{*}\) es tres, así que en rango de \(A\) es distinto del rango de \(A^{*}\), luego el sistema es incompatible si se añade la ecuación \(\bbox[yellow]{3x+y=0}\)
Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Dada la matriz:
\(A=\begin{pmatrix}-a&0&a\\ a&a-1&0\\ 0&a&a+2\end{pmatrix}\)
se pide:
a) (1 pto) Estudiar el rango de \(A\) según los valores del parámetro \(a\)
b) (1 pto) ¿Para qué valores de \(a\) existe inversa \(A^{-1}\) Calcular \(A^{-1}\) para \(a=1\)?
a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices
Calculando su determinante se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}-a & 0 & a\\a & a-1 & 0\\0 & a & a+2\end{array}=-a(a-1)(a+2)=0\Rightarrow a(2-a)\Rightarrow a=0\) y \(a=2\)
– Si \(a\neq 0,-2\), \(|A|\neq 0\) \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a\neq 0,-2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)
– Si \(a=0\), \(|A|=0\) y como existe el menor
\(\begin{array}{|crl|}-1& 0\\0 & 2\end{array}=-2\neq 0\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=0,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
– Si \(a=2\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}-2 &0&2\\ 2&1&0\\ 0&2&4\end{pmatrix}\)
Tomando el menor
\(\begin{array}{|crl|}-2& 0\\2 & 1\end{array}=-2\neq 0\)
Luego, \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=0,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
b) Para que \(A\) tenga inversa, el determinante ha de ser distinto de cero, ver teoría de matrices, por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{existe inversa de }A\hbox{ para }a\neq 0,2}\)
Sustituyendo en \(A\) el valor de \(a=1\), se tiene \(\begin{pmatrix}-1 &0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&3\end{pmatrix}\)
Resolviendo el determinante de \(A\) en este caso, se tiene que \(|A|=1\). Aplicando la fórmula para hallar la inversa de una matriz, ver cómo calcular la inversa de una matriz, \(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz adjunta de \(A\) y trasponiéndola, se tiene el resultado \(\bbox[yellow]{A^{-1}=\begin{pmatrix}0 &1&0\\ -3&3&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}}\)