Álgebra en Selectividad (Ciencias) 2012 II

Ejercicio :(Septiembre 2012 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\(\displaystyle\begin{cases}3x+ay+4z=&6\\x+(a+1)y+z=&3 \\ (a-1)x-ay-3z=&-3\\\end{cases}\)

Se pide:

a) (2 ptos) Discutirlo según los valores de \(a\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(a=-1\)

a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada

\(A=\begin{pmatrix}3 &a&4\\ 1&a+1& 1\\ a-1&-a& -3\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}3 &a&4&6\\ 1&a+1& 1&3\\ a-1&-a& -3&-3\end{pmatrix}\)

El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres

Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=-3a^2-8a-5=0\Rightarrow a=-1\) y \(a=-\frac 53\)

– Si \(a\neq -1,-\frac 53\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -1,-\frac 53}\)

– Si \(a=-1\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}3 &-1\\ 1& 0\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)

Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(a=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes

Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos

De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-1,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)

– Si \(a=-\frac 53\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}3 &4\\ 1& 1\end{array}=-1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)

En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),

\(\begin{array}{|crl|}3 &4&6\\ 1& 1& 3\\ -\frac 83& -3& -3\end{array}=-4\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)

Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-\frac 53,\hbox{El sistema es incompatible}}\)

b) Para \(a=-1\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}3x-y+4z=&6\\x+z=&3 \\-x+y-3z=&-3\\\end{cases}\)

Para resolverlo se da a una de las variables el valor \(\lambda\) y se despejan las otras dos, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones

En este caso, \(\bbox[yellow]{\displaystyle\begin{cases}x=&3-\lambda\\y=&3+\lambda \\z=\lambda \\\end{cases}}\)

Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción B) (Calificación:2 ptos)

Sean \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\in\mathbb{R}^3\) vectores columna. Si
\(det(\vec{a},\vec{b},\vec{d})=-1\quad det(\vec{a},\vec{c},\vec{d})=3\quad det(\vec{b},\vec{c},\vec{d})=-2\)

Calcular razonadamente el determinante de las siguientes matrices:

a) (0,5 ptos) \(det(\vec{a},3\vec{d},\vec{b})\)
b) (0,75 ptos) \(det(\vec{a}-\vec{b},\vec{c},-\vec{d})\)
c) (0,75 ptos) \(det(\vec{d}+\vec{b},2\vec{a},\vec{b}-3\vec{a}+\vec{d})\)

a) Utilizando algunas propiedades de los determinantes, como por ejemplo que si en un determinante una fila está multiplicada por una constante, dicha constante sale fuera multiplicando al determinante, o que si se intercambian dos filas en un determinante, éste cambia de signo, ver propiedades de los determinantes

\(det(\vec{a},3\vec{d},\vec{b})=3det(\vec{a},\vec{d},\vec{b})=-3det(\vec{a},\vec{b},\vec{d})=-3(-1)=\bbox[yellow]{3}\)

b) Utilizando en este caso el hecho de que si una fila de un determinante puede descomponerse en suma o resta de dos términos, el determinante se puede escribir como suma o resta de dos determinantes, ver propiedades de los determinantes

\(det(\vec{a-b},\vec{c},\vec{-d})=det(\vec{a},\vec{c},\vec{-d})-det(\vec{b},\vec{c},\vec{-d})=(-1)det(\vec{a},\vec{c},\vec{d})-(-1)det(\vec{b},\vec{c},\vec{d})=-det(\vec{a},\vec{c},\vec{d})+det(\vec{b},\vec{c},\vec{d})=-3+(-2)=\bbox[yellow]{-5}\)

c) En este apartado se utilizará el hecho de que un determinante no varía si a una de sus filas se le suma o resta una combinación lineal de otra de sus filas, y si un determinante tiene dos filas (o columnas) proporcionales, el determinante será cero, ver propiedades de los determinantes

\(det(\vec{d}+\vec{b},2\vec{a},\vec{b}-3\vec{a}+\vec{d})=(C_3=C_3-C_1)=det(\vec{d}+\vec{b},2\vec{a},-3\vec{a})=\bbox[yellow]{0}\)

Ejercicio :(Septiembre 2012 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\(\displaystyle\begin{cases}x-2z=&2\\ax-y+z=&-8 \\ 2x+az=&4\\\end{cases}\)

Se pide:

a) (1,5 ptos) Discutirlo según los valores de \(a\)
b) (0,5 ptos) Resolverlo para \(a=-5\)

a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada

\(A=\begin{pmatrix}1 &0&-2\\ a&-1& 1\\ 2&0& a\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &0&-2&2\\ a&-1& 1&-8\\ 2&0& a&4\end{pmatrix}\)

El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres

Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=-a+0+0-(4+0+0)=0\Rightarrow a=-4\)

– Si \(a\neq -4, |A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -4}\)

– Si \(a=-4\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}0 &-2\\ -1& 1\end{array}=-2\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)

Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(a=-4\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes

Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos

De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-4,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)

b) Para \(a=-5\) se tiene que el sistema es: \(\displaystyle\begin{cases}x-2z=&2\\-5x-y+z=&8 \\2x-5z=&4\\\end{cases}\)

El sistema es compatible determinado (con \(|A|=-a-4=1\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}2 & 0 & -2 \\-8 & -1 & 1\\4 & 0 &-5\end{array}=2\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 2 & -2 \\-5 & -8 & 1\\2 & 4 &-5\end{array}=-2\)

\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 0 & 2 \\-5 & -1 & -8\\2 & 0 &4\end{array}=0\)

Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(2,-2,0)}\)

Ver más ejercicios de Álgebra en Selectividad