Ejercicio : (Septiembre 2014 Opción A)(Calificación: 3 ptos)
Dadas las matrices
\(A\begin{pmatrix}1 &a&a\\ 1& a&1\\ a-1& a&2\end{pmatrix};\) \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\), \(O=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
a) (1 pto) Determinar el valor o valores de \(a\) para los cuales no existe la matriz inversa \(A^{-1}\)
b) (1 pto) Para \(a =-2\), hallar la matriz inversa \(A^{-1}\)
c) (1 pto) Para \(a =1\), calcular todas las soluciones del sistema lineal \(AX=O\)
a) Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo. En este caso
\(\begin{array}{|crl|}1 &a&a\\ 1& a&1\\ a-1& a&2\end{array}=a(1-a)(a-2)=0\Rightarrow \bbox[yellow]{a=0, a=1, a=2}\)
b) Para \(a=-2\), se tiene
\(A=\begin{pmatrix}1 &-2&-2\\ 1& -2&1\\ -3& -2&2\end{pmatrix}\)
El determinante de \(A\) será en este caso \(|A|=-2(1+2)(-2-2)=24\), ver cómo calcular determinantes
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene
\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}-2 &8&-6\\ -5& -4&-3\\ -8& 8&0\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, la inversa será \(\bbox[yellow]{A^{-1}=\frac{1}{24}\begin{pmatrix}-2 &8&-6\\ -5& -4&-3\\ -8& 8&0\end{pmatrix}}\)
c) Transformando la expresión dada en ecuación matricial y recordando cómo operar con matrices, se tiene
\(AX=O\Rightarrow\begin{pmatrix}1 &1&1\\ 1& 1&1\\ 0& 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}x+y+z=&0\\ x+y+z=&0 \\ y+2z=&0\\\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x+y+z=&0\\ y+2z=&0\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{(\lambda,-2\lambda,\lambda)}\)
Ejercicio : (Septiembre 2014 Opción B)(Calificación: 2 ptos)
Dada la ecuación matricial
\(\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}.B=\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& 1\end{pmatrix}\)
donde \(B\) es una matriz cuadrada 2×2, se pide:
a) (1 pto) Calcular el valor o valores de \(a\) para los que esta ecuación tiene solución.
b) (1 pto) Calcular \(B\) en el caso a = 1
a) La ecuación tendrá solución única cuando sea posible despejar \(B\), es decir, cuando la matriz \(\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}\) tenga inversa ya que
\(B=\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& 1\end{pmatrix}\), ver ecuaciones matriciales
Para que exista \(\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}^{-1}\), el determinante de \(\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}^{-1}\) debe ser no nulo. En este caso
\(\begin{array}{|crl|}a &2\\ 3& 7\end{array}=7a -6=0\Rightarrow a=\frac 67\)
Es decir, \(\bbox[yellow]{\hbox{para todo }a\neq\frac 67,\hbox{ existe solución}}\)
b) Para \(a=1\), se tiene
\(\begin{pmatrix}1 &2\\ 3& 7\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& 1\end{pmatrix}\)
El determinante de esa matriz será en este caso \(|A|=7.1-6=1\), ver cómo calcular determinantes
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene
\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}7 &-2\\ -3& 1\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, la inversa será \(A^{-1}=\begin{pmatrix}7 &-2\\ -3& 1\end{pmatrix}\)
Quedando así el resultado final para \(B\), ver cómo operar con matrices
\(B=\begin{pmatrix}7 &-2\\ -3& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& 1\end{pmatrix}=\bbox[yellow]{\begin{pmatrix}5 &5\\ -2& -2\end{pmatrix}}\)
Ejercicio : (Septiembre 2014 Opción B)(Calificación: 2 ptos)
Estudiar el rango de la matriz
\(A=\begin{pmatrix}2&-1&-3&5\\ 2&2&-1&a\\ 1&1&1&6\\ 3&1&-4&a\end{pmatrix}\)
según los valores del parámetro \(a\)
Para estudiar el rango de la matriz se resuelve el determinante asociada a dicha matriz por adjuntos, ver cómo calcular determinantes,
\(|A|=-5\begin{array}{|crl|}2 & 2& -1\\ 1 & 1& 1\\ 3 & 1& -4\end{array}+a\begin{array}{|crl|}2 & -1& -3\\ 1 & 1& 1\\ 3 & 1& -4\end{array}-6\begin{array}{|crl|}2 & -1& -3\\ 2 & 2& -1\\ 3 & 1& -4\end{array}+a\begin{array}{|crl|}2 & -1& -3\\ 2 & 2& -1\\ 1 &1& 1\end{array}=-5.6+a(-11) -6(-7) +a.9=0\Rightarrow a=6\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{Para }a\neq 6\hbox{ el Rango es }4}\) y \(\bbox[yellow]{\hbox{para }a=6\hbox{ el Rango es }3}\)