Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Dadas las matrices:
\(A=\begin{pmatrix}1&1&a&a\\ a&1&1&a\\ a&a&1&1\\ a&a&a&1\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ w\end{pmatrix}\), \(O=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
se pide:
a) (1,5 ptos) Calcular el determinante de \(A\). Determinar el rango de \(A\) según los valores de \(a\)
b) (0,5 ptos) Resolver el sistema homogéneo \(AX=O\) en el caso \(a=1\)
c) (1 pto) Resolver el sistema homogéneo \(AX=O\) cuando \(a=-1\)
a) Con el objetivo de tener una columna con todos sus términos cero excepto uno y de este modo poder hallar el determinante (multiplicando el valor del término distinto de cero de la columna por el determinante del menor que queda), ver cómo calcular determinantes, se restan y suman filas en el determinante dado
\(\begin{array}{|crl|}1&1&a&a\\ a&1&1&a\\ a&a&1&1\\ a&a&a&1\end{array}=\begin{pmatrix}F_2=F_2-aF_1\\ F_3=F_3-aF_1\\ F_4=F_4-aF_1\end{pmatrix}=\begin{array}{|crl|}1&1&a&a\\ 0&1-a&1-a^2&a-a^2\\ 0&0&1-a^2&1-a^2\\ 0&0&a-a^2&1-a^2\end{array}=1(-1)^2\begin{array}{|crl|}1-a&1-a^2&a-a^2\\ 0&1-a^2&1-a^2\\ 0&a-a^2&1-a^2\end{array}=1(-1)^2(1-a)\begin{array}{|crl|}1-a^2&1-a^2\\ a-a^2&1-a^2\end{array}=\bbox[yellow]{(1-a)^3(1+a)}\)
– Si \(a\neq\pm 1\), el determinante es distinto de cero, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a\neq\pm 1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }4}\)
– Si \(a=1\), \(|A|=0\) y la matriz sería \(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\end{pmatrix}\), y en esta matriz sólo hay menores de orden uno distintos de cero
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }1}\)
– Si \(a=-1\), \(|A|=0\) y es posible encontrar un menor tres por tres tal que
\(\begin{array}{|crl|}-1&1&1\\ -1&-1&1\\ -1&-1&-1\end{array}\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=-1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)
b) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(a=1\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene
\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\0\end{pmatrix}\)
Para resolver el sistema, al ser todas las filas iguales entre sí, el problema tiene una sóla ecuación y cuatro incógnitas, luego, para resolverlo debe darse el valor de parámetros a las variables, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
De esta forma, \(\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&-\lambda -\mu -t\\ y=&\lambda \\ z=&\mu\\ w=&t\\\end{cases}}\)
c) Sustituyendo \(a=1\) en \(A\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene
\(\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ -1&1&1&-1\\ -1&-1&1&1\\ -1&-1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\0\end{pmatrix}\)
Es decir, se tiene \(\begin{cases}x+y-z-w=&0\\ -x+y+z-w=&0 \\ -x-y+z+w=&0\\ -x-y-z+w=&0\\\end{cases}\)
Como la primera ecuación es proporcional a la tercera, el sistema tiene tres ecuaciones y cuatro incógnitas y para resolverlo se da el valor de un parámetro a una de las variables y se despeja el resto, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
De esta forma, \(\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&\lambda\\ y=&0 \\ z=&0\\ w=&\lambda\\\end{cases}}\)
Ejercicio :(Junio 2013 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Dado el sistema de ecuaciones lineales: \(\displaystyle\begin{cases}ax+7y+5z=&0\\x+ay+z=&3 \\y+z=&-2\\\end{cases}\) Se pide:
a) (2 ptos) Discutirlo según los valores de \(a\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(a=4\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(a=2\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}a &7&5\\ 1&a& 1\\ 0&1& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}a &7&5&0\\ 1&a& 1&3\\ 0&1& 1&-2\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Consultando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=a^2-a-2=0\Rightarrow a=-1\) y \(a=2\)
– Si \(a\neq -1,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -1,2}\)
– Si \(a=-1\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}-1 &7\\ 1& -1\end{array}=-6\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),
\(\begin{array}{|rcl|}-1 &7&0\\ 1& -1& 3\\ 0& 1& -2\;\end{array}=15\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-1,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
– Si \(a=2\), \(|A|=0\) y es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &2\\ 0& 1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Todos los menores tres por tres de \(A^{*}\) tienen determinante nulo
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(a=4\) se tiene que el sistema: \(\displaystyle\begin{cases}4x+7y+5z=&0\\x+4y+z=&3 \\y+z=&-2\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=a^2-a-2=10\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}0 & 7 & 5 \\3 & 4 & 1\\-2 & 1 &1\end{array}=20\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}4 & 0 & 5 \\1 & 3 & 1\\0 & -2 &1\end{array}=10\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}4 & 7 & 0 \\1 & 4 & 3\\0 & 1 &-2\end{array}=-30\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(2,1,-3)}\)