Ejercicio :(Junio 2013 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
\(A\begin{pmatrix}1 &\lambda&0\\ 1& 1&2\\ 0& -1&-1\end{pmatrix};\) \(B=\begin{pmatrix}0 &1&1\\ 1& 0&-1\\ 2& 1&0\end{pmatrix}\)
a) (1 pto) Hallar el valor de \(\lambda\) para el cual la ecuación matricial \(XA=B\) tiene solución única
b) (1 pto) Calcular la matriz \(X\) para \(\lambda =4\)
c) (1 pto) Calcular el determinante de la matriz \(A^2B\) en función de \(\lambda\)
a) La ecuación tendrá solución única cuando sea posible despejar \(X\), es decir, cuando \(A\) tenga inversa ya que \(X=BA^{-1}\), ver ecuaciones matriciales
Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo. En este caso
\(\begin{array}{|crl|}1 &\lambda&0\\ 1& 1&2\\ 0& -1&-1\end{array}=\lambda +1=0\Rightarrow\lambda=-1\)
Es decir, \(\bbox[yellow]{\hbox{para todo }\lambda\neq -1,\hbox{ existe una única solución}}\)
b) Para \(\lambda=4\), se tiene
\(A=\begin{pmatrix}1 &4&0\\ 1& 1&2\\ 0& -1&-1\end{pmatrix}\)
El determinante de \(A\) será en este caso \(|A|=5\), ver cómo calcular determinantes
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene
\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}1 &4&8\\ 1& -1&-2\\ -1& 1&-3\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, la inversa será \(A^{-1}=\frac 15\begin{pmatrix}1 &4&8\\ 1& -1&-2\\ -1& 1&-3\end{pmatrix}\)
Quedando así el resultado final para \(X\), ver cómo operar con matrices
\(X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}0 &1&1\\ 1& 0&-1\\ 2& 1&0\end{pmatrix}\frac 15\begin{pmatrix}1 &4&8\\ 1& -1&-2\\ -1& 1&-3\end{pmatrix}=\bbox[yellow]{\frac 15\begin{pmatrix}0 &0&-5\\ 2& 3&11\\ 3& 7&14\end{pmatrix}}\)
c) Aplicando las propiedades de los determinantes, ver propiedades de los determinantes, se tiene que
\(|A^2B|=|A^2||B|=|A|^2|B|=(\lambda +1)^2\begin{array}{|crl|}0 &1&1\\ 1& 0&-1\\ 2& 1&0\end{array}=((\lambda +1)^2(-1)=\bbox[yellow]{-(\lambda +1)^2)}\)
Ejercicio :(Septiembre 2013 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
\(\begin{cases}2x+\lambda y+\lambda z=&1-\lambda\\x+y+(\lambda -1)z=&-2\lambda \\ (\lambda -1)x+y+z=&\lambda -1\\\end{cases}\)
se pide:
a) (2 ptos) Discutirlo según los valores del parámetro \(\lambda\)
b) (0,5 ptos) Resolverlo en el caso \(\lambda=1\)
c) (0,5 ptos) Resolverlo en el caso \(\lambda=-1\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}2 &\lambda&\lambda\\ 1&1& \lambda -1\\ \lambda -1&1&1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}2 &\lambda&\lambda&1-\lambda\\ 1&1& \lambda -1&-2\lambda\\ \lambda-1&1& 1&\lambda -1\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=\lambda^3-3\lambda^2+4=0\Rightarrow \lambda=-1\) y \(\lambda=2\)
– Si \(\lambda\neq -1,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }\lambda\neq -1,2}\)
– Si \(\lambda=-1\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}2 &-1\\ 1& 1\end{array}=3\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(\lambda=-1\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }\lambda=-1,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
– Si \(\lambda=2\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior y la matriz queda como \(A=\begin{pmatrix}2 &2&2\\ 1&1& 1\\ 1&1&1\end{pmatrix}\) y en esta matriz sólo existen menores de orden uno distintos de cero, por lo tanto el rango de la matriz será uno
Por otra parte, en \(A^{*}\) es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}2 &-1\\ 1& -4\end{array}\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }2\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }\lambda=2,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
b) Para \(\lambda=1\) se tiene que el sistema es: \(\displaystyle\begin{cases}2x+y+z=&0\\x+y=&-2 \\y+z=&0\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=(1+1)(1-2)^2=2\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}0 & 1 & 1 \\-2 & 1 & 0\\0 & 1 &1\end{array}=0\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}2 & 0 & 1 \\1 & -2 & 0\\0 & 0 &1\end{array}=-4\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}2 & 1 & 0 \\1 & 1 & -2\\0 & 1 &0\end{array}=4\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(0,-2,2)}\)
c) Para \(\lambda=-1\) el sistema es compatible indeterminado y quedaría como
\(\begin{cases}2x-y-z=&2\\x+y-2z=&2\\-2x+y+z=&-2\\\end{cases}\)
Como la tercera y la primera ecuación son proporcionales se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}2x-y-z=&2\\ x+y-2z=&2\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x-y=&2+\mu\\x+y=&2+2\mu\\\end{cases}\)
El sistema ahora se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(\begin{array}{|crl|}2 & -1 \\1 & 1\end{array}=3\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}2+\mu & -1\\2+2\mu & 1\end{array}=4+3\mu\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}2 & 2+\mu\\1 & 2+2\mu\end{array}=2+3\mu\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\mu)=\bbox[yellow]{(\frac 43+\mu,\frac 23 +\mu, \mu)}\)
Ejercicio : (Junio 2011 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Dada la matriz:
\(A=\begin{pmatrix}2a&-2&a^2\\ -1&a&-1\\ 2&1&a\end{pmatrix}\)
a) (1 pto) Calcular el rango de \(A\) en función de los valores de \(a\)
b) (1 pto) En el caso de \(a=2\), discutir el sistema\(A\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ b\end{pmatrix}\) en función de los valores de \(b\) y resolverlo cuando sea posible
c) (1 pto) En el caso de \(a=1\), resolver el sistema \(A\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\)
a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices
Calculando el determinante de la matriz \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}2a & -2 & a^2\\-1 & a & -1\\2 & 1 & a\end{array}=4-a^2=0\Rightarrow a=-2\) y \(a=2\)
– Si \(a\neq -2,2\), el determinante es distinto de cero, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a\neq -2,2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)
– Si \(a=-2\), \(|A|=0\) y como existe el menor
\(\begin{array}{|crl|}-4& -2\\-1 & -2\end{array}=6\neq 0\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=-2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
– Si \(a=2\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}4 &-2&4\\ -1&2&-1\\ 2&1&2\end{pmatrix}\)
De igual manera que en el caso anterior, es posible encontrar un menor tal que
\(\begin{array}{|crl|}4& -2\\-1 & 2\end{array}=6\neq 0\) por lo
tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
b) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(a=2\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene
\(\begin{pmatrix}4 &-2&4\\ -1&2&-1\\ 2&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ b\end{pmatrix}\)
Como se ha visto en el apartado anterior si \(a=2\), el rango de \(A\) es dos. En el caso de la matriz ampliada se tendría
\(A^{*}=\begin{pmatrix}4 &-2&4&2\\ -1&2&-1&1\\ 2&1&2&b\end{pmatrix}\)
Tomando el menor \(\begin{array}{|crl|}4& -2&2\\-1 & 2&1\\2 & 1&b\end{array}=6b-18=0\Rightarrow b=3\)
– Si \(b\neq 3\), el rango de la matriz ampliada es tres y, por tanto, es distinto del de la matriz \(A\). De forma que \(\bbox[yellow]{\hbox{si }b\neq 3,\hbox{ el sistema es incompatible}}\)
– Si \(b= 3\), el rango de la matriz ampliada es 2 (ya que el determinante es cero y hay un menor dos por dos distinto de cero) y, por tanto, es igual al rango de la matriz \(A\). De forma que \(\bbox[yellow]{\hbox{si }b=3,\hbox{ el sistema es compatible indeterminado}}\)
Para \(b=3\) el sistema de ecuaciones que quedaría sería
\(\begin{cases}4x-2y+4z=&2\\-x+2y-z=&1\\2x+y+2z=&3\\\end{cases}\)
Consultando cómo resolver sistemas de ecuaciones, se obtiene \(\bbox[yellow]{(1-\lambda,1,\lambda)}\)
c) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(a=q\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene
\(\begin{pmatrix}2 &-2&1\\ -1&1&-1\\ 2&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=3\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-1 & -2 & 1 \\2 & 1 & -1\\2 & 1 &1\end{array}=6\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}2 & -1 & 1 \\-1 & 2 & -1\\2 & 2 &1\end{array}=3\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}2 & -2 & -1 \\-1 & 1 & 2\\2 & 1 &2\end{array}=-9\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(2,1,-3)}\)