Ejercicio : (Junio 2012 Opción A)(Calificación: 3 ptos)
Dadas las matrices:
\(A=\begin{pmatrix}k&k&k^2\\ 1&-1&k\\ 2k&-2&2\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}12\\ 6\\ 8\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ 3\end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\)
Se pide:
a) (1,5 ptos) Hallar el rango de \(A\) en función de los valores de \(k\)
b) (0,75 pto) Para \(k=2\), hallar, si existe, la solución del sistema \(AX=B\)
b) (0,75 pto) Para \(k=1\), hallar, si existe, la solución del sistema \(AX=C\)
a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices
Calculando el determinante de \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}k & k & k^2\\1 & -1 & k\\ 2k & -2 & 2\end{array}=k(4k^2-4)=0\Rightarrow k=0,\; k=1\) y \(k=-1\)
– Si \(k\neq 0,-1,1\), el determinante de la matriz es distinto de cero, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } k\neq 0,-1,1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)
– Si \(k=0\), la matriz tiene determinante nulo, ver cómo resolver determinantes, por lo tanto, como existe el menor
\(\begin{array}{|crl|}1& -1\\0 & -2\end{array}=-2\neq 0\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{si } k=0,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
– Si \(k=-1\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}-1 &-1&1\\ 1&-1&-1\\ -2&-2&2\end{pmatrix}\)
El determinante de esa matriz es nulo, pero \(\begin{array}{|crl|}-1& -1\\1 & -1\end{array}=-2\neq 0\) por lo
tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } k=-1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
– Si \(k=1\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}1 &1&1\\ 1&-1&1\\ 2&-2&2\end{pmatrix}\)
El determinante de esa matriz es nulo, pero \(\begin{array}{|crl|}1& 1\\1 & -1\end{array}=-2\neq 0\) por lo
tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } k=1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
b) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(k=2\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene
\(\begin{pmatrix}2 &2&4\\ 1&-1&2\\ 4&-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\ 6\\ 8\end{pmatrix}\)
Recordando que \(|A|=k(4k^2-1)=24\neq 0\), y, por lo tanto, el rango de la matriz es tres, el sistema es compatible determinado y puede resolverse por el método de Cramer.
Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}12 & 2 & 4 \\6 & -1 & 2\\8 & -2 &2\end{array}=16\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}2 & 12 & 4 \\ 1 & 6 & 2\\4 & 8 &2\end{array}=0\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}2 & 2 & 12 \\ 1 & -1 & 6\\ 4 & -2 &8\end{array}=8\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(\frac 23,0,\frac 83)}\)
c) Para \(k=1\), se tiene \(\begin{pmatrix}1 &1&1\\ 1&-1&1\\ 2&-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\ 6\\ 8\end{pmatrix}\)
En este caso \(|A|=0\), luego el rango de la matriz será menor de tres. Es posible encontrar en la matriz \(A\) un menor dos por dos con determinante distinto de cero
\(\begin{array}{|crl|}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}=-2\neq 0\), luego el rango de la matriz será dos
Por otra parte, en la matriz \(A^{*}\) es posible encontrar un menor tres por tres tal que
\(\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 12 \\ 1 & -1& 6\\ 2 & -2& 8\end{array}=8\neq 0\), por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) será de tres
Como los rangos de \(A\) y de \(A^{*}\) son distintos, por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{para }k=1, \hbox{ no hay soluciones porque el sistema es incompatible}}\)
Ejercicio : (Junio 2012 Opción B)(Calificación: 2 ptos)
Dadas las matrices:
\(A=\begin{pmatrix}0&1&2\\ -2&-1&0\\ 1&a&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}4&-1&1&-2\\ -2&-3&-7&-8\\ 3&2-a&3+a&3\end{pmatrix}\)
se pide:
a) (1 pto) Estudiar el rango de la matriz \(B\) en función de \(a\)
b) (1 pto) Para \(a=0\), calcular la matriz \(X\) que verifique \(AX=B\)
a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(B\) será tres, ver rango de matrices
Calculando el determinante de un menor dos por dos de la matriz \(B\) que no depende del parámetro se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}4 & -1\\-2 & -3\end{array}=-14\neq 0\), luego, el rango de la matriz será dos ó tres
Estudiando el determinante de dos menores tres por tres de la matriz \(B\), se tiene
\(\begin{array}{|crl|}4 & -1& 1\\-2 & -3& -7\\ 3 & 2-a& 3+a\end{array}=40(1-a)=0\Rightarrow a=1\) y \(\begin{array}{|crl|}4 & -1& -2\\-2 & -3& -8\\ 3 & 2-a& 3\end{array}=36(1-a)=0\Rightarrow a=1\)
– Si \(a\neq 1\), existen menor tres por tres en la matriz cuyo determinante es distinto de cero, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a\neq 1,\hbox{el rango de }B\hbox{ es }3}\)
– Si \(a=1\), no hay menores de orden tres de determinante distinto de cero, luego
\(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
b) Desarrollando la ecuación matricial dada en el enunciado, se tiene, ver cómo resolver ecuaciones matriciales
\(AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B\)
Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(a=0\) en la ecuación matricial dada en el enunciado, se tiene
\(\begin{array}{|crl|}0 &1&2\\ -2&-1&0\\ 1&0&1\end{array}=4\)
Para resolver la ecuación pedida es necesario hallar la inversa de \(A\), ver cómo calcular inversas de matrices
\(A^{-1}=\frac{(Adj)^{t}}{|A|}=\begin{pmatrix}-1 &-1&2\\ 2&-2&-4\\ 1&1&2\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, \(X=\frac 14\begin{pmatrix}-1 &-1&2\\ 2&-2&-4\\ 1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-1&1&-2\\ -2&-3&-7&-8\\ 3&2-a&3+a&3\end{pmatrix}\)
Recordando cómo operar con matrices, se tiene el resultado pedido \(\bbox[yellow]{X=\begin{pmatrix}1 &2&3&4\\ 0&-1&1&0\\ 2&0&0&-1\end{pmatrix}}\)
Ejercicio : (Junio 2012 Opción B) (2 ptos)
Calcular el valor del determinante \(\begin{array}{|crl|}x&1&1&1\\ 1&y&1&1\\ 1&1&z&1\\ 1&1&1&1\end{array}\)
Con el objetivo de tener una columna con todos sus términos cero excepto uno y de este modo poder hallar el determinante (multiplicando el valor del término distinto de cero de la columna por el determinante del menor que queda), ver cómo calcular determinantes, se restan y suman filas en el determinante dado
\(\begin{array}{|crl|}x&1&1&1\\ 1&y&1&1\\ 1&1&z&1\\ 1&1&1&1\end{array}=\begin{pmatrix}F_1=F_1-F_4\\ F_2=F_2-F_4\\ F_3=F_3-F_4\end{pmatrix}=\begin{array}{|crl|}x-1&0&0&0\\ 0&y-1&0&0\\ 0&0&z-1&0\\ 1&1&1&1\end{array}=\bbox[yellow]{(x-1)(y-1)(z-1)}\)