Álgebra en Selectividad (Sociales) 2010

Ejercicio :(Junio 2010 Opción B) (Calificación: 3 ptos)

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real \(k\): \(\displaystyle\begin{cases}x-y+kz=&1\\2x-ky+z=&2 \\x-y-z=&k-1\\\end{cases}\)

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(k\)
b) Resuélvase el sistema para el valor de \(k\) para el cual el sistema tiene infinitas soluciones
c) Resuélvase el sistema para \(k=3\)

a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada

\(A=\begin{pmatrix}1 &-1&k\\ 2&-k& 1\\ 1&-1& -1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &-1&k&1\\ 2&-k& 1&2\\ 1&-1& -1&k-1\end{pmatrix}\)

El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres

Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=k^2-k-2=0\Rightarrow k=-1\) y \(k=2\)

– Si \(k\neq -1,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }k\neq -1,2}\)

– Si \(k=-1\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &-1\\ 2& 1\end{array}=1-(-2)=3\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)

En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),

\(\begin{array}{|crl|}1 &-1&1\\ 2& 1& 2\\ 1& -1& -2\end{array}=-9\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)

Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=-1,\hbox{El sistema es incompatible}}\)

– Si \(k=2\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &2\\ 2& 1\end{array}=-3\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)

Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=2\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes

Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos

De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)

b) Para \(k=2\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x-y+2z=&1\\2x-2y+z=&2 \\x-y-z=&1\\\end{cases}\)

Como la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones

\(\begin{cases}x+2z=&1+\lambda\\ 2x+z=&2+2\lambda\\\end{cases}\)

El sistema ahora se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(\begin{array}{|crl|}1 & 2 \\2 & 1\end{array}=-3\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}1+\lambda & 2\\2+2\lambda & 1\end{array}=-3-3\lambda\)

\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 1+\lambda\\2 & 2+2\lambda\end{array}=0\)

Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\lambda,\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(1+\lambda,\lambda, 0)}\)

Ejercicio :(Septiembre 2010 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real \(a\):

\(\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}.x+\begin{pmatrix}1&-1\\ -3& 2\\ -4& a\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 22\\ 7a\end{pmatrix}\)

a) Discútase el sistema para los diferentes valores del parámetro \(a\)
b) Resuélvase el sistema para el valor de \(a\) para el cual el sistema tiene infinitas soluciones
c) Resuélvase el sistema para \(a=0\)

Operando se obtiene el sistema de ecuaciones lineales, ver cómo operar matrices

\(\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}.x+\begin{pmatrix}1&-1\\ -3& 2\\ -4& a\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 22\\ 7a\end{pmatrix}\Rightarrow>\begin{pmatrix}x+y-z\\ 2x-3y+2z\\ x-4y+az\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 22\\ 7a\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{cases}x+y-z=&1\\ 2x-3y+2z=&22 \\ x-4y+az=&7a\\\end{cases}\)

a)Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada

\(A=\begin{pmatrix}1 &1&-1\\ 2&-3& 2\\ 1&-4& a\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &1&-1&1\\ 2&-3& 2&22\\ 1&-4& a&7a\end{pmatrix}\)

El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres

Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=15-5a=0\Rightarrow a=3\)

– Si \(a\neq 3\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 3}\)

– Si \(a=3\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 2& -3\end{array}=-5\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)

Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(a=3\), se observa que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes

Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos

De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=3,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)

b) Para \(a=3\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x+y-z=&1\\2x-3y+2z=&22 \\x-4y+3z=&21\\\end{cases}\)

Como la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones

\(\begin{cases}x+y=&1+\lambda\\ 2x-3y=&22-2\lambda\\\end{cases}\)

El sistema ahora se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante del sistema (en este caso con las dos ecuaciones linealmente independientes entre sí) \(\begin{array}{|crl|}1 & 1 \\2 & -3\end{array}=-5\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}1+\lambda & 1\\22-2\lambda & -3\end{array}=-25-\lambda\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 1+\lambda\\2 & 22-2\lambda\end{array}=20-4\lambda\)

Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\lambda)=\bbox[yellow]{(5+\frac 15\lambda,-4+\frac 45\lambda, \lambda)}\)

c) Para \(a=0\) se tiene que el sistema es: \(\displaystyle\begin{cases}x+y-z=&1\\2x-3y+2z=&22 \\x-4y=&0\\\end{cases}\)

El sistema es compatible determinado (con \(|A|=15-5a=15\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & -1 \\22 & -3 & 2\\0 & -4 &0\end{array}=96\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & -1 \\2 & 22 & 2\\1 & 0 &0\end{array}=24\)

\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 1 \\2 & -3 & 22\\1 & -4 &0\end{array}=105\)

Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(\frac{32}{5},\frac 85,7)}\)

c) Para \(k=3\) se tiene que el sistema es: \(\displaystyle\begin{cases}x-y+3z=&1\\2x-3y+z=&2 \\x-y-z=&2\\\end{cases}\)

El sistema es compatible determinado (con \(|A|=3^2-3-2=4\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}1 & -1 & 3 \\2 & -3 & 1\\2 & -1 &-1\end{array}=12\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 3 \\2 & 2 & 1\\1 & 2 &-1\end{array}=5\)

\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -1 & 1 \\2 & -3 & 2\\1 & -1 &2\end{array}=-1\)

Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(3,\frac 54,-\frac 14)}\)

 

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