Ejercicio :(Junio 2011 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real \(a\): \(\displaystyle\begin{cases}ax+y+z=&a\\ay+z=&1 \\ax+y+az=&a\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(a\)
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones
c) Resuélvase el sistema para \(a=3\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}a &1&1\\ 0&a& 1\\ a&1& a\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}a &1&1&a\\ 0&a& 1&1\\ a&1& a&a\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=a^2(a-1)=0\Rightarrow a=0\) y \(a=1\)
– Si \(a\neq 0,1\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 0,1}\)
– Si \(a=0\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 0& 1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),
\(\begin{array}{|crl|}1 &1&0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=0,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
– Si \(a=1\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 0& 1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=2\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=1,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(a=1\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x+y+z=&1\\y+z=&1 \\y+z=&1\\\end{cases}\)
Como la segunda y la tercera ecuación son iguales, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables (en este caso, \(z=\lambda\)) para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x=&0\\ y=&1-\lambda\\\end{cases}\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=\bbox[yellow]{(0,1-\lambda, \lambda)}\)
c) Para \(a=3\) se tiene que el sistema es: \(\displaystyle\begin{cases}3x+y+z=&3\\3y+z=&1 \\3x+y+3z=&3\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=a^3-a^2=18\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}3 & 1 & 1 \\1 & 3 & 1\\3 & 1 &3\end{array}=16\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}3 & 3 & 1 \\0 & 1 & 1\\3 & 3 &3\end{array}=6\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}3 & 1 & 3 \\0 & 3 & 1\\3 & 1 &3\end{array}=0\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(\frac{8}{9},\frac 13,0)}\)
Ejercicio :(Junio 2011 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Se consideran las matrices
\(A\begin{pmatrix}-1 &0&1\\ 3& k&0\\ -k& 1&4\end{pmatrix};\) \(B=\begin{pmatrix}3&1\\ 0& 3\\ 2&0\end{pmatrix}\)
a) Calcúlense los valores de \(k\) para los cuales la matriz \(A\) no tiene inversa
b) Para \(k=0\) calcúlese la matriz inversa \(A^{-1}\)
c) Para \(k=0\) resuélvase la ecuación matricial \(AX=B\)
a) Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo, ver inversa de una matriz. En este caso
\(\begin{array}{|crl|}-1 &0&1\\ 3& k&0\\ -k& 1&4\end{array}=k^2-4k+3=0\Rightarrow k=1\) y \(k=3\)
Es decir, \(\bbox[yellow]{\hbox{para }k=1,3, \hbox{ la matriz no tiene inversa}}\)
b) Para \(k=0\), se tiene
\(A=\begin{pmatrix}-1 &0&1\\ 3& 0&0\\ 0& 1&4\end{pmatrix}\)
El determinante de \(A\) será en este caso \(|A|=0^2-4.0+3=3\), ver cómo calcular determinantes
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene
\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}0 &1&0\\ -12& -4&3\\ 3& 1&0\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, la inversa será \(\bbox[yellow]{A^{-1}=\frac 13\begin{pmatrix}0 &1&0\\ -12& -4&3\\ 3& 1&0\end{pmatrix}}\)
c) La ecuación tendrá solución cuando sea posible despejar \(X\), es decir, cuando \(A\) tenga inversa ya que \(AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B\), ver ecuaciones matriciales
Como en el apartado anterior se ha calculado la inversa para \(k=0\), es posible calcular \(X\) en este caso consultando el apartado de cómo multiplicar matrices, se tiene
\(X=BA^{-1}=\frac 13\begin{pmatrix}0 &1&0\\ -12& -4&3\\ 3& 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\ 0& 3\\ 2&0\end{pmatrix}=\bbox[yellow]{\frac 13\begin{pmatrix}0 &3\\ -30&-21\\ 9&6\end{pmatrix}}\)
Ejercicio :(Septiembre 2011 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Se consideran las matrices:
\(A=\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix};\) \(B=\begin{pmatrix}1 &a\\ 1&b\end{pmatrix};\)\(I=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0&1\end{pmatrix};\)\(O=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0&0\end{pmatrix};\)
a) Calcúlense \(a\), \(b\) para que se verifique la igualdad \(AB=BA\)
b) Calcúlense \(c\), \(d\) para que se verifique la igualdad \(A^2+cA+dI=O\)
c) Calcúlense todas las soluciones del sistema lineal:
\((A-I)\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}\)
a) Reescribiendo la igualdad con las matrices, se obtiene
\(\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &a\\ 1&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &a\\ 1&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}\)
Sabiendo cómo se multiplican matrices, queda
\(\begin{pmatrix}0.1+0.1 &0.a+0.b\\ 1.1+1.1&1.a+1.b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.0+a.1 &1.0+a.1\\ 1.0+b.1&1.0+b.1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}0 &0\\ 2&a+b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &a\\ b&b\end{pmatrix}\Rightarrow \bbox[yellow]{a=0,b=2}\)
b) Para calcular \(c\) y \(d\) se reescribe la igualdad dada como
\(A^2+cA+dI=0\Rightarrow\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}^2+c.\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}+d.\begin{pmatrix}1 &0\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0&0\end{pmatrix}\)
Operando se obtiene, ver cómo operar con matrices,
\(\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}d &0\\ c&c+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0&0\end{pmatrix}\Rightarrow \bbox[yellow]{c=-1,d=0}\)
c) Se escribe el sistema lineal dado en forma de ecuación matricial
\(\Big[\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 &0\\ 0&1\end{pmatrix}\Big].\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}-1 &0\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=0,y=\lambda}\)