Ejercicio :(Junio 2012 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real \(a\):
\(\displaystyle\begin{cases}x+ay-7z=4a-1&\\x+(1+a)y-(a+6)z=3a+1& \\ay-6z=3a-2&\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(a\)
b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones
c) Resuélvase el sistema en el caso \(a=-3\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &a&-7\\ 1&1+a& -a-6\\ 0&a& -6\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &a&-7&4a-1\\ 1&1+a& -a-6&3a+1\\ 0&a& -6&3a-2\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=a^2-a-6=0\Rightarrow a=-2\) y \(a=3\)
– Si \(a\neq -2,3\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -2,3}\)
– Si \(a=-2\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &-2\\ 1& -1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
– Si \(a=3\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &3\\ 1& 4\end{array}=-1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el menor \(3\times 3\) tal que
\(\begin{array}{|crl|}1 &3&11\\ 1& 4&10\\ 0& -2&7\end{array}=67\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{ tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=3,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
b) Para \(a=-2\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x-2y-7z=&-9\\x-y-4z=&-5 \\-2y-6z=&-8\\\end{cases}\)
Como la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables (z=\lambda) para resolver el sistema, ver resolución de sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x-2y=&-9+7\lambda\\ x-y=&-5+4\lambda\\\end{cases}\)
El sistema ahora se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(\begin{array}{|crl|}1 & -2 \\1 & -1\end{array}=1\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-9+7\lambda & -2\\-5+4\lambda & -1\end{array}=-1+\lambda\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & -9+7\lambda\\1 & -5+4\lambda\end{array}=4-3\lambda\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\lambda)=\bbox[yellow]{(-1+\lambda,4-3\lambda, \lambda)}\)
c) Para \(a=-3\), el sistema es compatible determinado (con \(|A|=a^2-a-6=6\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-13 & -3 & -7 \\-8 & -2 & -3\\-11 & -3 &-6\end{array}=-8\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & -13 & -7 \\1 & -8 & -3\\0 & -11 &-6\end{array}=14\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -3 & -13 \\1 & -2 & -8\\0 & -3 &-11\end{array}=4\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(-\frac 43,\frac 73,\frac 23)}\)
Ejercicio :(Junio 2012 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Un estadio de fútbol con capacidad para \(72000\) espectadores está lleno durante la celebración de un partido entre los equipos \(A\) y \(B\). Unos espectadores son socios del equipo \(A\), otros lo son del equipo \(B\), y el resto no son socios de ninguno de los equipos. A través de la venta de localidades sabemos lo siguiente:
a) No hay espectadores que seam socios de ambos equipos simultáneamente
b) Por cada \(13\) socios de alguno de los dos equipos hay \(3\) espectadores que no son socios
c) Los socios del equipo \(B\) superan en \(6500\) a los socios del equipo \(A\)
¿Cuántos socios de cada equipo hay en el estadio viendo el partido?
Primeramente se escriben las variables que corresponden con los datos dados en el enunciado
\(x\equiv \hbox{n. socios de }A\)
\(y\equiv \hbox{n. socios de }B\)
\(z\equiv \hbox{n. socios de no socios}\)
De cada apartado del enunciado se puede deducir una ecuación:
\((a)\Rightarrow x+y+z=72000\)
\((b)\Rightarrow \frac{x+y}{13}=\frac z3\)
\((c)\Rightarrow y=6500+x\)
De forma que se tiene el siguiente sistema de ecuaciones
\(\begin{cases}x+y+z=72000&\\3x+3y-13z=0& \\x-y=-6500&\\\end{cases}\)
Resolviendo el sistema se tiene el resultado, ver cómo resolver un sistema de ecuaciones
\(\begin{cases}x+y+z=72000&\\3x+3y-13z=0& \\x-y=-6500&\\\end{cases}\Rightarrow x=26000,\;y=32500,\;z=13500\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{hay }26000\hbox{ socios del equipo }A, 32500\hbox{ socios del equipo }B \hbox{ y }13500\hbox{ no socios }}\)
Ejercicio :(Septiembre 2012 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real \(k\):
\(\displaystyle\begin{cases}x+y+z=2&\\x+ky+2z=5& \\kx+y+z=1&\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(k\)
b) Resuélvase el sistema para \(k=0\)
c) Resuélvase el sistema en el caso \(k=2\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &1&1\\ 1&k& 2\\ k&1& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &1&1&2\\ 1&k& 2&5\\ k&1& 1&1\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes y cómo resolver polinomios, se tiene \(|A|=k+2k+1-(k^2+1+2)=-k^2+3k-2\Rightarrow k=1\) y \(k=2\)
– Si \(k\neq 1,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }k\neq 1,2}\)
– Si \(k=1\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 1& 2\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el menor tres por tres siguiente
\(\begin{array}{|crl|}1 &1&2\\ 1& 2&5\\ 2& 1&1\end{array}=-1\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{ tiene rango }3\)
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=1,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
– Si \(k=2\), \(|A|=0\). Encontrando además como en el caso anterior, el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 1& 2\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(k=0\), el sistema es compatible determinado (con \(|A|=-k^2+3k-2=-2\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}2 & 1 & 1 \\5 & 0 & 2\\1 & 1 &1\end{array}=-2\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 2 & 1 \\1 & 5 & 2\\0 & 1 &1\end{array}=2\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 2 \\1 & 0 & 5\\0 & 1 &1\end{array}=-4\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(1,-1,2)}\)
c) Para \(k=2\) se tiene que el sistema es compatible determinado: \(\displaystyle\begin{cases}x+y+z=&2\\x+2y+2z=&5 \\2x+y+z=&1\\\end{cases}\)
Como la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables (z=\lambda) para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x+y=&2-\lambda\\ x+2y=&5-2\lambda\\\end{cases}\)
El sistema ahora se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(\begin{array}{|crl|}1 & 1 \\1 & 2\end{array}=1\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}2-\lambda & 1\\5-2\lambda & 2\end{array}=-1\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 2-\lambda\\1 & 5-2\lambda\end{array}=3-\lambda\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\lambda)=\bbox[yellow]{(-1,3-\lambda, \lambda)}\)