Álgebra en Selectividad (Sociales) 2014

Ejercicio : (Junio 2014 Opción A)(Calificación: 2 ptos)

Sean las matrices \(A=\begin{pmatrix}2 &1\\ -1& 0\\ 1& -2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3 &1\\ 0& 2\\ -1& 0\end{pmatrix}\)

a) Calcúlense \((A^{t}B)^{-1}\), donde \(A^{t}\) denota a la traspuesta de la matriz \(A\)
b) Resuélvase la ecuación matricial \(A.\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 5\end{pmatrix}\)

a) Consultando cómo escribir la traspuesta de una matriz, se tiene

\(A^{t}B=\begin{pmatrix}2 &-1&1\\ 1& 0&-2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3 &1\\ 0& 2\\ -1& 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 &0\\ 5& 1\end{pmatrix}\Rightarrow \boxed{(A^{t}B)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac 15 &0\\ -1& 1\end{pmatrix}}\)

b) Escribiendo la ecuación matricial y recordando cómo operar con matrices, se tiene,

\(\begin{pmatrix}2 &1\\ -1& 0\\ 1& -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 5\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}2x+y=0&\\-x=-1& \\x-2y=5&\\\end{cases}\Rightarrow \boxed{\begin{cases}x=1&\\y=-2\\\end{cases}}\)

Ejercicio : (Junio 2014 Opción B)(Calificación: 2 ptos)

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real \(a\):

\(\displaystyle\begin{cases}x+y+az=2&\\3x+4y+2z=a& \\2x+3y-z=1&\\\end{cases}\)

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(a\)
b) Resuélvase el sistema en el caso \(a=-1\)

a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada

\(A=\begin{pmatrix}1 &1&a\\ 3&4& 2\\ 2&3& -1\end{pmatrix}\quad\) y \(\quad A^{*}=\begin{pmatrix}1 &1&a&2\\ 3&4& 2&a\\ 2&3& -1&1\end{pmatrix}\)

El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres

Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=a-3=0\Rightarrow a=3\)

- Si \(a\neq 3\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 3}\)

- Si \(a=3\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 3& 4\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)

En la matriz \(A^{*}\) todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}<\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\boxed{\hbox{si }a=3,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)

b) Para \(a=-1\), el sistema es compatible determinado, consultando cómo se resuelven sistemas de ecuaciones, se concluye el resultado,

\(\begin{cases}x+y-z=2&\\3x+4y+2z=-1& \\2x+3y-z=1&\\\end{cases}\Rightarrow \boxed{\begin{cases}x=3&\\y=-2& \\z=-1&\\\end{cases}}\)

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