Álgebra en Selectividad (Sociales) 2014 II

Ejercicio : (Septiembre 2014 Opción A)(Calificación: 2 ptos)

Considérese el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real \(\lambda\):

\(\displaystyle\begin{cases}2x-\lambda y+z=-\lambda&\\4x-2\lambda y+2z=\lambda -3&\\\end{cases}\)

a) Determínense los valores del parámetro real \(\lambda\) que hacen que el sistema sea incompatible
b) Resuélvase el sistema para \(\lambda=1\)

a) Para discutir el sistema de ecuaciones, primeramente se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada. Como en este caso la matriz \(A\) es de \(2×3\), el rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que dos y es suficiente con buscar los menores \(2×2\) e igualar sus determinantes a cero.

Los únicos menores cuyo determinante está escrito en función del parámetro \(\lambda\) son los siguientes (el resto de menores \(2×2\) tienen determinante cero), recordar cómo se resuelven determinantes:

\(\begin{array}{|crl|}2 &-\lambda\\ 4& \lambda -3\end{array}=3\lambda -3= 0\Rightarrow \lambda -1=0\Rightarrow \lambda= 1\)

\(\begin{array}{|crl|}-\lambda &-\lambda\\ -2\lambda& \lambda -3\end{array}=3\lambda(1-\lambda)= 0\Rightarrow \lambda=0, \lambda= 1\)

y

\(\begin{array}{|crl|}1 &-\lambda\\ 2& \lambda -3\end{array}=3\lambda -3= 0\Rightarrow \lambda -1=0\Rightarrow \lambda= 1\)

Por lo tanto,

– Si \(\lambda\neq 1\), \(\Rightarrow\hbox{El rango de }A=1\neq\hbox{ el rango de }A^{*}=2\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es incompatible si }\lambda\neq 1}\)

– Si \(\lambda=1\), \(\Rightarrow\hbox{ el rango de }A =\neq\hbox{ el rango de }A^{*}=1\Rightarrow\hbox{si }\lambda=1,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}\)

b) Para \(\lambda=1\), el sistema es compatible indeterminado, así que tendrá infinitas soluciones y se puede resolver dando dos parámetro como valores a dos de las incógnitas y escribiendo la otra en función de dichos parámetros.

\(\displaystyle\begin{cases}2x-y+z=-1&\\4x-2y+2z=-2&\\\end{cases}\)
Dando a la \(x\) el valor \(\nu\) y a la \(z\) el valor \(\mu\), se tiene el resultado \(\bbox[yellow]{x=\nu,\;\; y=1+2\nu+\mu,\;\; z=\mu}\)

Ejercicio :(2 ptos)

Considérese la matriz \(A=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}.\)

a) Calcúlense \((A.A^{t})^{200}\)
b) Calcúlense \((A.A^{t}-3I)^{-1}\)

Nota: \(A^{-1}\) denota a la traspuesta de la matriz \(A\). \(I\) es la matriz identidad de orden 3

a) Consultando cómo multiplicar matrices, y cómo calcular la transpuesta de una matriz, se tiene

\(A.A^{t}=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}\)

Y \((A.A^{t})^2=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}\)

Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{(A.A^{t})^{200}=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}}\)

b) Recordando cómo restar matrices y teniendo en cuenta el apartado a), se obtiene

\(A.A^{t}-3I=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 1&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 &0&0\\ 0& -3&0\\ 0& 0&-2\end{pmatrix}\)

Consultando cómo calcular la inversa de una matriz se tiene el resultado:

\(\bbox[yellow]{(A.A^{t}-3I)^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac 12 &0&0\\ 0& -\frac 13&0\\ 0& 0&-\frac 12\end{pmatrix}}\)

Ver más ejercicios de Álgebra en Selectividad