Ejercicio : (Septiembre 2014 Opción A)(Calificación: 3 ptos) Dada la función
\(\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}\)
se pide:
a) (1 pto) Determinar el dominio de \(f\) y sus asíntotas
b) (1 pto) Calcular \(f'(x)\) y determinar los extremos relativos de \(f(x)\)
c) (1 pto) Calcular \(\displaystyle\int_0^1f(x)dx\)
a) El dominio de una función cociente serán todos los números reales menos los que hacen cero el denominador, repasar la teoría de dominio de una función
En este caso,
\(x=-1\) y \(x=-4\) anulan los denominadores, así que el dominio de la función será \[\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}\setminus\{-1,-4\}}\]
Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no pertenecen al dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, como el denominador se anula en \(x=-1, -4\), éstos serán los puntos de posibles asíntotas verticales
\(\lim\limits_{x\to -1^{-}}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=\frac{1}{0^{-}}+\frac{-1}{3}=-\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to -1^{+}}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=\frac{1}{0^{+}}+\frac{-1}{3}=+\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=-1}\) será una asíntota vertical
Por otra parte, para el otro punto
\(\lim\limits_{x\to -4^{-}}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=\frac{1}{-3}+\frac{-4}{0^{-}}=\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to -4^{+}}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=\frac{1}{-3}+\frac{-4}{0^{+}}=-\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=-4}\) será una asíntota vertical
. Asintótas horizontales:
Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L’Hôpital se tiene que
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=1\)
Luego, habrá una asíntota horizontal en \(\bbox[yellow]{y=1}\)
. Asintótas oblicuas:
No existen asíntotas oblicuas debido a que existen asíntotas horizontales, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay oblicuas}}\)
b) Reescribiendo primero la función \(f(x)=\frac{x+4+x^2+x}{(x+1)(x+4)}=\frac{x^2 +2x+4}{x^2+5x+4}\)
Para obtener la derivada de la función, consultar la tabla de derivadas,
\(f'(x)=\frac{(2x+2)(x^2+5x+4)-(x^2+2x+4)(2x+5)}{(x^2+5x+4)^2}\)
Para estudiar los extremos relativos o máximos y mínimos se iguala la derivada a cero, ver cómo hallar extremos relativos de una función
\(f'(x)=\frac{(2x+2)(x^2+5x+4)-(x^2+2x+4)(2x+5)}{(x^2+5x+4)^2}=0\Rightarrow\)
\(2x^3+12x^2+18x+8-(2x^3+9x^2+18x+20)=0\Rightarrow 3x^2-12=0\)
Despejando la ecuación de segundo grado, se tiene \(x=\pm\sqrt{4}=\pm 2\)
Para saber si los puntos obtenidos son máximos o mínimos se evalúa el signo de la derivada antes y después de los puntos obtenidos, ver cómo saber si son máximos o mínimos
\(f'(-3)>0, f'(0)<0\) y \(f'(3)>0\), por lo tanto \((-2,f(-2))=\bbox[yellow]{(-2,-2)}\) es un máximo y \((2,f(2))=\bbox[yellow]{(2,\frac 23)}\) es un mínimo
c) Para calcular la integral, recordar la teoría sobre cómo calcular integrales definidas y además la tabla de integrales
\(\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\int_0^1 \frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}dx=\int_0^1 \frac{1}{x+1}dx+\int_0^1\frac{x}{x+4}dx\)
Recordando cómo dividir polinomios, se tiene que \(\frac{x}{x+4}=1-\frac{4}{x+4}\) y finalmente repasando las propiedades de los logaritmos, se tiene
\(\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\ln x-1\Big|_0^1+\int_0^1 1-\frac{4}{x+4}dx=\ln x-1-x-4\ln x+4\Big|_0^1=\bbox[yellow]{5\ln 2-4\ln 3-2}\)
Ejercicio :(Septiembre 2014 Opción B)(Calificación: 3 ptos)
Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}\frac{5\sin x}{2x}+\frac 12&x<0\\\ a&x=0\\\ xe^{x}+3&x>0,\\\end{cases}\)
se pide:
a) (1 pto) Hallar, si existe, el valor de \(a\) para que \(f\) sea continua
b) (1 pto) Decidir si la función es derivable en \(x=0\) para algún valor de \(a\)
c) (1 pto) Calcular la integral \(\int_1^{\ln 5}f(x)dx\), donde \(ln\) denota el logaritmo neperiano
a) La función está formada por polinomios y por una fracción de polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios y el valor de \(x\) que hace que el denominador de la fracción se anule, es decir; \(x=0\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}xe^{x}+3=3\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{5\sin x}{2x}+\frac 12=\frac 00 +\frac 12\)
Se trata de una indeterminación, ver indeterminaciones, por lo tanto, para resolverla se utiliza la Regla de L’Hôpital,
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{5\sin x}{2x}+\frac 12= \lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{5\cos x}{2}+\frac 12= \frac 52 +\frac 12=3\)
Por otra parte, \(f(0)=a\), luego, para que la función sea continua en \(0\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(\bbox[yellow]{a=3}\)
b) Para que la función sea derivable la función tiene que ser continua (en este caso, como se ha visto en el apartado anterior, \(a=3\)) y además tiene que cumplirse que \(f'(0^{-})=f'(0^{+})\), ver derivabilidad
En este caso, calculando primeramente la posible derivada de la función, se tiene
\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}\frac{5\cos x. 2x -5\sin x. 2}{4x^2}&x<0\\ 0&x=0\\ e^x +xe^x&x>0\\\end{cases}\)
Evaluando \(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}e^x +xe^x=1\)
Por otra parte,
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{5\cos x. 2x -5\sin x. 2}{4x^2}=\frac 00\)
Se trata de nuevo de una indeterminación, ver indeterminaciones, y para resolverla se utiliza la Regla de L’Hôpital,
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{5\cos x. 2x -5\sin x. 2}{4x^2}= \lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{-5\sin x. 2x+5\cos x. 2 -5\cos x. 2}{8x}= \lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{-5\sin x. 2}{8}=0\)
Luego, para que \(f\) fuera derivable en cero, \(1=0\), lo cual no tiene sentido y no se cumple en ningún caso, por lo tanto, \(\bbox[yellow]{f(x) \hbox{ no es derivable en }0}\)
c) La integral puede escribirse como la suma de dos integrales, ver propiedades de las integrales y consultar también la tabla de integrales
\(\displaystyle\int_1^{\ln 5}xe^{x}+3dx=\int_1^{\ln 5}xe^{x}dx+ \int_1^{\ln 5}3dx\)
Y la integral \(\int_1^{\ln 5}xe^{x}dx\) se hará por partes, ver cómo resolver una integral por partes,
\(\displaystyle\int_1^{\ln 5}xe^{x}dx= xe^x \Big |_1^{\ln 5}- \int_1^{\ln 5}e^{x}dx=xe^x + e^x\Big |_1^{\ln 5}\)
Así que, \(\displaystyle\int_1^{\ln 5}xe^{x}+3dx=\int_1^{\ln 5}xe^{x}dx+ \int_1^{\ln 5}3dx=xe^x + e^x+3\Big |_1^{\ln 5}=7,88 – 3=\bbox[yellow]{4,88}\)
Ejercicio : (Junio 2014 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
a) (1 pto) Sea \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa \(x=-2\) es un punto de nflexión de la gráfica de \(f(x)\) y que la recta de ecuación \(y=16x+16\) es tangente a la gráfica de \(f(x)\) en dicho punto, determinar
\(f(-2),\quad f'(-2)\quad\hbox{ y }\quad f»(-2)\)
b) (1 pto) Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función \(g(x)=x^4+4x^3\) y el eje \(OX\)
a) El enunciado dice que \(x=-2\) es el punto de tangencia con la recta \(y=16x+16\), por lo tanto, la función buscada tendrá el mismo valor que la recta en el punto \(x=-2\). Evaluando dicha función en \(x=-2\), se tiene que \(y=-32+16=\bbox[yellow]{f(-2)=-16}\)
Consultando las ecuaciones de la recta, se tiene que la pendiente \(m\) de la recta \(y=16x+16\) es \(m=16\), por lo tanto, \(\bbox[yellow]{f'(-2)=16}\)
Por último, como el enunciado dice que \(x=-2\) es un punto de inflexión de \(f(x)\), la segunda derivada de dicha función se anulará en ese punto, es decir, \(\bbox[yellow]{f»(-2)=0}\), consultar la teoría de puntos de inflexión
b) Para calcular el área pedida se resolverá la integral de la función \(g(x)\) teniendo como límites de integración por puntos de corte con el eje \(OX\), ver cómo se calculan áreas de funciones y la tabla de integrales
\(g(x)=x^4+4x^3=0\Rightarrow x=0,\quad x=-4\)
\(\displaystyle\int_{-4}^0x^4+4x^3 dx=\frac{x^5}{5}+x^4\Big|_{-4}^0=-\frac{4^4}{5}\)
Como el área no puede ser negativa, se tiene el resultado \(A=\Big|-\frac{4^4}{5}\Big|=\bbox[yellow]{\frac{256}{5}u^2}\)