Ejercicio : (Junio 2011 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Dada la función
\(f(x)=\frac{3x}{x^2-2}\)
a) (1 pto) Especifíquese el dominio de definición y los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con los ejes coordenados. Determínense las asíntotas de \(f\)
b) (1 pto) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto \(x=1\)
c) (1 pto) Calcúlese la integral definida \(\displaystyle\int_2^3 f(x)dx\)
a) El dominio de la función serán todos los números que hagan que el denominador distinto de cero, ver dominio de una función
Es decir, \(\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}-\{\pm\sqrt{2}\}}\)
Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes
\(f(x)=0\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0\), luego la función corta en \(\bbox[yellow]{(0,0)}\)
Por otra parte, haciendo \(x=0\) en la función, se tiene de nuevo el punto \((0,0)\)
Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, los únicos puntos reales en los que no está definida la función son \(\pm\sqrt{2}\)
Para comprobar si en esos puntos hay asíntotas se calculan los límites laterales de la función.
\(\lim\limits_{x\to \sqrt{2}}\frac{3x}{x^2-2}=-\infty\)
\(\lim\limits_{x\to -\sqrt{2}}\frac{3x}{x^2-2}=\infty\)
Luego, hay asíntotas verticales en \(\bbox[yellow]{x=\pm\sqrt{2}}\)
. Asintótas horizontales:
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0\), luego hay una asíntota horizontal en \(\bbox[yellow]{y=0}\)
. Asintótas oblicuas:
Como hay asíntotas horizontales, \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay oblicuas}}\), ver la teoría de asíntotas
b) La ecuación de la recta tangente en \(x=1\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(1)=f'(1)(x-1)\)
Primeramente se calculará el valor de la función en el punto pedido, \(f(1)=\frac{3.1}{1^2-2}=-3\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=\displaystyle\frac{3(x^2-2)-3x.2x}{(x^2-2)^2}=\frac{-3x^2-6}{(x^2-2)^2}\)
Luego, \(f'(1)=\frac{-3.1^2-6}{(1^2-2)^2}=-9\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-(-3)=-9(x-1)\Rightarrow\bbox[yellow]{y=-9x+6}\)
c) Consultando cómo se calcula una integral definida y la tabla de integrales y teniendo en cuenta algunas propiedades de los logaritmos, se obtiene el resultado
\(\displaystyle\int_2^3 f(x)dx=\displaystyle\int_2^3 \frac{3x}{x^2-2}dx=\frac 32\ln |x^2-2|\Big]_2^3=\frac 32(\ln 7-\ln 2)=\bbox[yellow]{\frac 32\ln\frac 72}\)
Ejercicio : (Junio 2011 Opción B) (Calificación: 3 ptos)
Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}\frac ax&x\leq -1\\ \frac{x^2-b}{4}&x>-1\\\end{cases}\)
a) (1 pto) Calcúlense los valores de \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable
b) (1 pto) Para \(a=1\) y \(b=3\),represéntese la función
c) (1 pto) Calcúlese el valor de \(b\) para que \(\displaystyle\int_0^3 f(x)dx=6\)
a) La función está formada por polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, \(x=-1\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{+}}\frac{x^2-b}{4}=\frac{1-b}{4}\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{-}}\frac ax=-a=f(-1)\)
Luego, para que la función sea continua en \(-1\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(-a=\frac{1-b}{4}\)
Para que la función sea derivable tiene que cumplirse que \(f'(-1^{-})=f'(-1^{+})\), ver derivabilidad
En este caso, calculando primeramente la derivada de la función, se tiene
\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}-\frac{a}{x^2}&x\leq -1\\ \frac x2&x>1\\\end{cases}\)
Evaluando \(f'(-1^{-})=f'(-1^{+})\), se tiene que \(-a=\frac 12\Rightarrow a=-\frac 12\), luego, para que la función sea continua y derivable en todos los reales \(\frac 12=\frac{1-b}{4}\Rightarrow\bbox[yellow]{ a=-\frac 12,b=-1 }\)
b) La función a representar será
\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}\frac{1}{x}&x\leq -1\\ \frac{x^2-3}{4}&x>1\\\end{cases}\)
Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función
– El dominio en este caso serán todos los números reales (en el caos del primer trozo de la función, el cero no estaría contenido en el dominio ya que el denominador se anula en este valor, pero como el cero no está en ese primer intervalo, se incluye en el dominio total de la función ), ver dominio de una función
– Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes
\(f(x)=0\Rightarrow \frac{x^2-3}{4}=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\), luego se obtienen los puntos de corte: \((-\sqrt{3},0),(\sqrt{3},0)\)
Por otra parte, al hacer \(x=0\) en la función, se obtiene \((-\frac 34,0)\)
Con estos datos y sabiendo que la función está formada por una hipérbola y una parábola (cuyo vértice es \((-\frac 34,0)\)), ver funciones elementales, es posible dibujar la función
c) Teniendo en cuenta cómo se calcula una integral definida, se tiene
\(6=\displaystyle\int_0^{3}\frac{x^2-b}{4}dx=\frac 14(\frac{x^3}{3}-bx)\Big]_0^3=\frac 14(3^2-b3)\Rightarrow 3b=-15\Rightarrow \bbox[yellow]{b=-5}\)
Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
Dada la función \(f(x)=\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\)
se pide:
a) (1 pto) Determínense las asíntotas de \(f(x)\). Calcúlense los extremos relativos de \(f\)
b) (1 pto) Represéntese gráficamente la función \(f(x)\)
c) (1 pto) Calcúlese el área del recinto acotado plano que limitan la gráfica de \(f(x)\), la recta horizontal \(y=1\) y la recta vertical \(x=1\)
a) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, el denominador no se anula en ningún valor real, \(x^2+1=0\Rightarrow x=\sqrt{-1}\), \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay verticales}}\)
. Asintótas horizontales:
Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L’Hôpital se tiene que
\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}=1\)
Luego, hay una asíntota horizontal en \(\bbox[yellow]{\hbox{horizontales }\equiv y=1}\)
. Asintótas oblicuas:
Como hay asíntotas horizontales, \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay oblicuas}}\), ver la teoría de asíntotas
Los extremos relativos de la función (máximos y mínimos) se calcularán igualando la derivada de la función a cero, ver máximos y mínimos y la tabla de derivadas
\(f'(x)=\frac{2(x+1).1.(x^2+1)-(x+1)^22x}{(x^2+1)^2}=0\Rightarrow \frac{2(x+1)(1-x)}{(x^2+1)^2}=0\Rightarrow \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}=0\Rightarrow x=\pm 1\)
Para saber si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos, se evalúan en la segunda derivada,
\(f»(x)=2\frac{-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)2(x^2+1)2x}{(x^2+1)^4}=\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\)
Sustituyendo los valores obtenidos, \(x=\pm 1\), se tiene que \(f»(-1)=1>0\) y \(f»(1)=-1<0\)
De esta forma, consultando cómo saber si los puntos críticos son máximos o mínimos, se concluye que (sabiendo que \(f(-1)=0\hbox{ y } f(1)=2\)) la función tiene \(\bbox[yellow]{\hbox{min. en }(-1,0)}\) y \(\bbox[yellow]{\hbox{max. en }(1,2)}\)
b) Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función
– Como ya se ha comentado, el dominio en este caso serán todos los números reales ya que el denominador no se anula para ningún valor real
– Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes
\(f(x)=0\Rightarrow x=-1\), luego la función pasará por \((-1,0)\)
Por otra parte, como \(f(0)=1\), se obtiene el punto de corte, \((0,1)\)
Con estos datos y los obtenidos en los apartados anteriores, es posible dibujar la función
c) Para hallar el área pedida, se calculará la integral definida de la resta entre \(f(x)\) y \(y=1\), ver cómo se calcula una integral definida
\(A=\displaystyle\int_0^1\frac{(x^2+1)^2}{x^2+1}-1dx=\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx=\ln (x^2+1)\Big]_0^1=\ln (1^2+1)-\ln (0^2+1)=\bbox[yellow]{\ln 2}\)