Análisis en Selectividad 2013

Ejercicio :(Junio 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se considera la función real de variable real definida por \(\displaystyle 3e^{-2x}\)
a) (1 pto) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto \(x=0\)
b) (1 pto) Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de \(f(x)\), las rectas \(x=0\) y \(x=0,5\) y el eje de abscisas

a) La ecuación de la recta tangente en \(x=0\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta

\(y-f(0)=f'(0)(x-0)\)

Primeramente se calculará \(f(0)=3e^{-2.0}=3.1=3\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas

\(f'(x)=3e^{-2x}(-2)=-6e^{-2x}\)

Luego, \(f'(0)=-6e^{-2.0}=-6\)

Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-3=-6(x-0)\Rightarrow\boxed{y=-6x+3}\)

b) Para hallar el área pedida y teniendo en cuenta la gráfica de la función \(f(x)>0\), ver funciones elementales, se evaluará la integral de la función entre \(0\) y \(0,5\), ver cómo se calcula una integral definida y consultar también la tabla de integrales

\(\displaystyle A=\int_0^{0,5}3e^{-2x}dx=-\dfrac 32\displaystyle\int_0^{0,5}e^{-2x}(-2)dx=-\dfrac 32e^{-2x}\Big]_{0}^{0,5}=-\dfrac 32e^{-2.0,5}-(-\dfrac 32e^{-2.0})=\boxed{\dfrac 32(1-\dfrac 1e)}\)

 

Ejercicio : (Junio 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se considera la función real de variable real

\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}e^{x}&x<0\\ \dfrac{a+3x}{x^2-4x+3}&x\geq 0\\\end{cases}\)

a) (1 pto) Estúdiese la continuidad de \(f\) en \(x=0\) para los distintos valores del parámetro \(a\)
b) (1 pto) Determínense las asíntotas de la función

a) El punto de posible discontinuidad que propone el ejercicio es el salto entre los dos trozos de la función (ver continuidad de funciones)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{a+3x}{x^2-4x+3}=\dfrac{a}{3}=f(0)\)

Calculando el otro límite lateral, se tiene

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}e^{x}=e^{0}=1\)

Luego, para que la función sea continua en \(0\) se debe cumplir que \(1=\dfrac a3\Rightarrow a=3\)

Es decir,

- \(\boxed{\hbox{Si }a=3,\quad f(x) \hbox{ es continua en }x=0}\)

- Si \(a\neq 3\), los límites laterales no coinciden en \(x=0\) y, por lo tanto, la función no tiene límite en dicho punto y, por lo tanto, \(\boxed{\hbox{Si }a\neq 3,\quad f(x) \hbox{ tiene una discontinuidad no evitable de salto finito }}\), ver tipos de discontinuidades

b) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas

. Asintótas verticales:

Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, los únicos puntos reales en los que puede haber asíntotas verticales son aquéllos que hacen el denominador cero, ver cómo resolver polinomios

\(x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1\) y \(x=3\)

Para comprobar si en esos puntos hay asíntotas se calculan los límites laterales de la función.

\(\lim\limits_{x\to 1^{\pm}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{\pm}}\dfrac{a+3x}{x^2-4x+3}=\dfrac{a+3}{0}=\pm\infty\)

Por lo tanto, hay asíntota vertical en \(\boxed{x=1}\)

Por otra parte,

\(\lim\limits_{x\to 3^{\pm}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{\pm}}\dfrac{a+3x}{x^2-4x+3}=\dfrac{a+9}{0}=\pm\infty\)

Por lo tanto, también habrá asíntota vertical en \(\boxed{x=3}\)

. Asintótas horizontales:

En este caso se evalúa el límite de la función cuando la \(x\) se acerca a más y menos infinito

\(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}e^{x}=0\) y \(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{a+3x}{x^2-4x+3}=0\)

Luego hay una asíntota horizontal en la recta \(\boxed{y=0}\)

. Asintótas oblicuas:

Como hay asíntotas horizontales, \(\boxed{\hbox{no hay oblicuas}}\), ver la teoría de asíntotas

Ejercicio : (Junio 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se considera la función real de variable real definida por \(f(x)=x(5-x)^2\)

a) (1 pto) determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\)
b) (1 pto) Determínense los intervalos de concavidad y convexidad de \(f\)

a) Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se deriva la función y se iguala a cero, consultar la teoría de máximos y mínimos

En este caso, recordando la tabla de derivadas, se obtiene

\(f'(x)=3x^2-20x+25=0\Rightarrow x=\dfrac 53\) y \(x=5\)

Para saber si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos se estudia el signo de la derivada antes y después de dichos puntos

\(f'(x<\dfrac 53)>0\qquad\), \(f'(\dfrac 53,\(f'(x>5)>0\)

Luego, la función \(\boxed{\hbox{crece en los intervalos }(-\infty,\dfrac 53)\cup (5,\infty)}\) y \(\boxed{\hbox{decrece en el intervalo }(\dfrac 53,5)}\)

b) Los intervalos de curvatura se estudian hallando la segunda derivada e igualándola a cero, ver teoría de curvatura de una función

\(f''(x)=6x-20=0\Rightarrow x=\dfrac{10}{3}\)

Evaluando el signo de la segunda derivada antes y después del punto obtenido, se tiene

\(f''(x<\dfrac{10}{3})<0\qquad\), \(f''(x>\dfrac{10}{3})>0\qquad\)

Luego, la función es cóncava en el intervalo \(\boxed{(\dfrac{10}{3},\infty)}\) y convexa en el intervalo \(\boxed{(-\infty,\dfrac{10}{3})}\)

 

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