Ejercicio : (Junio 2014 Opción A)(Calificación: 2 ptos)
Se considera la función real de variable real
\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}x+a&si\quad x<1\\ x^2-2&si\quad 1\leq x\leq 3\\ x+b&si\quad x>3\\\end{cases}\)
a) Determínese \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua en todo \(\mathbb{R}\)
b) Calcúlese \(\displaystyle\int_1^3 f(x)dx\)
a) Los puntos de posible discontinuidad que propone el ejercicio serán los saltos entre los trozos de la función, \(x=1\) y \(x=3\), (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dichos puntos se evalúan los límites laterales y la función en los puntos
En \(x=1\), se tiene
\(\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}x^2-2=-1=f(1)\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}x+a=1+a\)
Luego, para que la función sea continua en \(1\) se debe cumplir que \(1+a=-1\Rightarrow a=-2\)
Por otra parte, en \(x=3\), se tiene
\(\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{+}}x+b=3+b\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}x^2-2=7=f(3)\)
Luego, para que la función sea continua en \(3\) se debe cumplir que \(3+b=7\Rightarrow b=4\)
Es decir,
– \(\bbox[yellow]{\hbox{Si }a=-2\hbox{ y }b=4,\quad f(x) \hbox{ es continua en todos los reales}}\)
b) La función entre \(1\) y \(3\) toma el valor \(x^2-2\), por lo tanto, recordando cómo se resuelven integrales definidas y consultando también la tabla de integrales, se tiene el resultado
\(\displaystyle\int_1^3f(x)dx=\int_1^3 (x^2-2)dx=\frac{x^3}{3}-2x\Big|_1^3=\bbox[yellow]{\frac{14}{3}}\)
Ejercicio : (Junio 2014 Opción B)(Calificación: 2 ptos)
Dada la función real de variable real\(\displaystyle f(x)=4x^3-3x^2-2x\)
a) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abcisa \(x=1\)
b) (1 pto) Calcúlese \(\displaystyle\int_2^3 f(x)dx\)
a) La ecuación de la recta tangente en \(x=1\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(1)=f'(1)(x-1)\)
Primeramente se calculará \(f(1)=4.1^3-3.1^2-2.1=-1\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=12x^2-6x-2\)
Luego, \(f'(1)=4\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(\bbox[yellow]{y+1=4(x-1)}\)
b) Recordando cómo se resuelven integrales definidas y consultando también la tabla de integrales, se tiene el resultado
\(\displaystyle\int_2^3f(x)dx=\int_2^3 4x^3-3x^2-2xdx=x^4-x^3-x^2\Big|_2^3=\bbox[yellow]{41}\)
Ejercicio : (Junio 2014 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se considera la función real de variable real definida por
\(f(x)=\frac{x^2}{x-2}\)
a) Determínense sus asíntotas
b) Determínense el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\)
a) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, como el denominador se anula en \(x= 2\), éste será el punto de posibles asíntotas verticales
\(\lim\limits_{x\to 2^{-}}\frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{0^{-}}=-\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{0^{+}}=+\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=2}\) será una asíntota vertical
. Asintótas horizontales:
Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L’Hôpital se tiene que
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x-2}=\pm\infty\)
Luego, \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay horizontales }}\)
. Asintótas oblicuas:
Las posibles asíntotas oblicuas tendrían la siguiente expresión \(y=mx+n\)
Con \(m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{x^2}{x-2}}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^3-2x}=1\)
Y \(n=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(\frac{x^2}{x-2}-x)=2\)
Luego, la recta \(\bbox[yellow]{y=x+2}\) será asíntota oblicua
b) El dominio de una función racional es todos los números reales menos aquéllos que anulan el denominador, ver teoría sobre el dominio de una función
En este caso, el denominador se anula en \(x=2\), por lo tanto, \(\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}\setminus\{2\}}\)
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se deriva la función y se iguala a cero, consultar la teoría de máximos y mínimos
En este caso, recordando la tabla de derivadas, se obtiene
\(f'(x)=\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}=0\Rightarrow x=0\) y \(x=4\)
Para saber si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos se estudia el signo de la derivada antes y después de dichos puntos
\(f'(x<0)>0\qquad\), \(f'(0<x<4)<0\qquad\),\(f'(x>4)>0\)
Luego, la función \(\bbox[yellow]{\hbox{crece en los intervalos }(-\infty,0)\cup (4,\infty)}\) y \(\bbox[yellow]{\hbox{decrece en el intervalo }(0,2)\cup (2,4)}\), ya que en el punto \(x=2\) la función no está definida (dicho punto no pertenece al dominio)