Estadística en Selectividad 2011

Ejercicio : (Junio 2011 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se supone que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en una cierta zona se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(15\) minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de \(400\) espectadores de TV en dicha zona, obteniéndose que el tiempo diario dedicado a ver TV es de \(3\) horas

a) Determínese un intervalo de confianza para \(\mu\) con un nivel de confianza del \(95\)%

b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la estimación de \(\mu\) sea menor o igual que \(3\) minutos, con un nivel de confianza del \(90\)%?

a) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(180-1,96\frac{15}{\sqrt{400}},180+1,96\frac{15}{\sqrt{400}})=\bbox[yellow]{(178,5, 181,5)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística

En este caso, al ser \(90\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,90\Rightarrow\alpha=0,10\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.645\), por lo tanto, \(n>(1,645\frac{15}{3})^2=67,65\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 68}\)

Ejercicio : (Junio 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se supone que el precio (en euros) de un refresco se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(0,09\) euros. Se toma una muestra aleatoria simple del precio del refresco en \(10\) establecimientos y resulta:

\(1,50\quad\quad 1,60\quad\quad 1,10\quad\quad 0,90\quad\quad 1,00\quad\quad 1,60\quad\quad 1,40\quad\quad 0,90\quad\quad 1,30\quad\quad 1,20\)

a) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del \(95\)% para \(\mu\)

b) Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y \(\mu\) sea menor o igual que \(0,10\) euros con probabilidad mayor o igual que \(0,99\)

a) Considerando \(x\) la variable aleatoria que mide el precio de un refresco, se comportará como una variable continua con distribución Normal, \(x:N(\mu,\sigma)\), ver estadística

El intervalo de confianza se calculará utilizando la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

Con \(\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{1,50+1,60+1,10+0,90+1,00+1,60+1,40+0,90+1,30+1,20}{10}=1,25\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(1,25-1,96\frac{0,09}{\sqrt{10}},1,25+1,96\frac{0,09}{\sqrt{10}})=\bbox[yellow]{(1,19, 1,31)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística

En este caso, al ser \(99\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,99\Rightarrow\alpha=0,01\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,58\), por lo tanto, \(n>(2,58\frac{0,09}{0,1})^2=5,39\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 6}\)

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Estadística en Selectividad 2012 II

Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

La duración en kilómetros de los neumáticos de una cierta marca se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) desconocida y desviación típica igual a \(3000\) kilómetros

a) Se toma una muestra aleatoria simple de \(100\) neumáticos y se obtiene una media muestral de \(48000\) kilómetros. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del \(90\)% para \(\mu\)

b) Calcúlese el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y \(\mu\) sea menor o igual a \(1000\) kilómetros con probabilidad mayor o igual que \(0,95\)

a) Llamando \(x\) a la variable aleatoria que mida la duración en Km de los neumáticos, se tendría que dicha variable se comporta como una normal \(x:N(\mu,\sigma)\)

Para muestras de tamaño \(100\), las medias también siguen una distribución Normal, \(\bar{x}:N(\mu,\frac{3000}{\sqrt{100}})\)

Para una muestra de este tamaño, se ha obtenido una media muestral de \(\bar{x}=48000\)

El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(90\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,90\Rightarrow \alpha=0,1\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,645\)

Por lo tanto,

\(IC=(48000-1,645\frac{3000}{\sqrt{100}},48000+1,645\frac{3000}{\sqrt{100}})=\bbox[yellow]{(47505, 48495)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística

En este caso, al ser \(95\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,95\Rightarrow\alpha=0,05\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96\), por lo tanto, \(n>(1,96\frac{3000}{1000})^2=34,6\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 35}\)

Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción B) (Calificación: 2 ptos) 

El tiempo de espera para ser atendido en cirto establecimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) desconocida y desviación típica igual a \(3\) minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(121\)

a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y \(\mu\) sea mayor que \(0,5\) minutos

b) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del \(95\)% para \(\mu\), si la media de la muestra es igual a \(7\) minutos

a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable que mide el tiempo de espera, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(\mu, \sigma)\), ver estadística

Para muestras de tamaño \(121\) elementos, se tendrán las medias muestrales que seguirán una distribución Normal: \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{121}})\)

El ejercicio pide hallar \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 0,5)\)

Es decir, \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 0,5)=1-P(|\bar{x}-\mu|< 0,5)=1-P(-0,5<\bar{x}-\mu< 0,5)=1-P(\mu-0,5<\bar{x}< \mu +0,5)\)

Para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(\bar{x}\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)

De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{121}}}\) y

\(1-P(\mu-0,5<\bar{x}< \mu +0,5)=1-P(\frac{\mu-0,5-\mu}{\frac{3}{11}}<z<\frac{\mu+0,5-\mu}{\frac{3}{11}})=1-P(-1,83<z<1,83)=1-(P(z<1,83)-P(z\leq -1,83))=1-(P(z<1,83)-P(z\geq 1,83))=1-(P(z<1,83)-(1-P(z< 1,83))\)

Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(|\bar{x}-\mu|\geq 0,5)=0,0672}\)

b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(7-1,95\frac{3}{\sqrt{121}},7+1,95\frac{3}{\sqrt{121}})=\bbox[yellow]{(6,47, 7,53)}\)

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Estadística en Selectividad 2013 II

Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

El tiempo de renovación de un teléfono móvil, expresado en años, se puede aproximar mediante una distribución normal con desviación típica de \(0,4\) años

a) Se toma una muestra aleatoria simple de \(400\) usuarios y se obtiene una media muestral igual a \(1,75\) años. Determínese un intervalo de confianza al \(95\)% para el tiempo medio de renovación de un teléfono móvil

b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual a \(0,02\) años con un nivel de confianza del \(90\)%

a) Considerando \(x\) la variable aleatoria que mide el tiempo de renovación de un teléfono móvil, se comportará como una variable continua con distribución Normal, \(x:N(\mu,\sigma)\), ver estadística

Para muestras de \(400\) elementos, las medias muestrales también siguen una distribución Normal del tipo \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El intervalo de confianza se calculará utilizando la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(1,75-1,96\frac{0,4}{\sqrt{400}},1,75+1,96\frac{0,4}{\sqrt{400}})=\bbox[yellow]{(1,71, 1,79)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística

En este caso, al ser \(90\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,90\Rightarrow\alpha=0,10\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,645\), por lo tanto, \(n>(1,645\frac{0,4}{0,02})^2\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 1083}\)

 

Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se considera una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(210\). Se toma una muestra aleatoria simple de \(64\) elementos

a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y \(\mu\) sea mayor o igual que \(22\)

b) Determínese un intervalo de confianza del \(99\)% para \(\mu\), si la media muestral es igual a \(1532\)

a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable dada, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(\mu, \sigma)\), ver estadística

Para muestras de tamaño \(64\) elementos, se tendrán las medias muestrales que seguirán una distribución Normal: \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{64}})\)

El ejercicio pide hallar \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 22)\)

Es decir, \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 22)=1-P(|\bar{x}-\mu|< 22)=1-P(-22<\bar{x}-\mu< 22)=1-P(\mu-22<\bar{x}< \mu +22)\)

Para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(\bar{x}\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)

De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{64}}}\) y

\(1-P(\mu-22<\bar{x}< \mu +22)=1-P(\frac{\mu-22-\mu}{\frac{210}{8}}<z<\frac{\mu+22-\mu}{\frac{210}{8}})=1-P(-0,84<z<0,84)=1-(P(z<0,84)-P(z\leq -0,84))=1-(P(z<0,84)-P(z\geq 0,84))=1-(P(z<0,84)-(1-P(z< 0,84))\)

Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(|\bar{x}-\mu|\geq 22)=0,401}\)

b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado

Nivel de confianza del \(99\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,99\Rightarrow \alpha=0,01\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=2,58\)

Por lo tanto,

\(IC=(1532-2,58\frac{210}{\sqrt{64}},1532+2,58\frac{210}{\sqrt{64}})=\bbox[yellow]{(1464, 1600)}\)

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Estadística en Selectividad 2014 II

Ejercicio :(Junio 2014 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

La longitud, en milímetros (mm), de los individuos de una determinada colonia de gusanos de seda se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida \(\mu\) y desviación típica igual a \(3\) mm

a) Se toma una muestra aleatoria simple de \(48\) gusanos de seda y se obtiene una media muestral igual a \(36\) mm. Determínese un intervalo de confianza para la media poblacional de la longitud de los gusanos de seda con un nivel de confianza del \(95\)%

b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el error máximo cometido en la estimación de \(\mu\) por la media muestral menor o igual que \(1\) mm con un nivel de confianza del \(90\)%

a) Por los datos del enunciado, siendo \(X\) la variable que mide los Mb descargados mensualmente, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(36, \frac{3}{\sqrt{48}})\), ver estadística

El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\), ver la tabla de la normal

Por lo tanto,

\(IC=(36-1,96\frac{3}{\sqrt{48}},36+1,96\frac{3}{\sqrt{48}})=\bbox[yellow]{(35,151;\; 36,849)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido, ver teoría de estadística

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\frac{3}{\sqrt{48}}\Rightarrow \bbox[yellow]{E=0,849}\)

En este caso, al ser \(90\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,95\Rightarrow\alpha=0,10\), y consultando de nuevo la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.645\)

Por lo tanto, \(1=1,645\frac{3}{\sqrt{n}}\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 24,35}\)

Ejercicio :(Junio 2014 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

El consumo mensual de leche (en litros) de los alumnos de un determinado colegio se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma=3\) litros

a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza \((16,33;\; 19,27)\) para estimar \(\mu\), con un nivel de confianza del \(95\)%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida

b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(64\). Calcúlese el erros máximo cometido en la estimación de \(\mu\) mediante la media muestral con un nivel de confianza del \(95\)%

a) El intervalo de confianza viene dado por la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\), ver la tabla de la normal

Por lo tanto,

\((16,33;\; 19,27)\Rightarrow \bar{x}=\frac{16,33+19,27}{2}=17,8\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,47\)

Teniendo en cuenta que \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\Rightarrow 1,47=1,96\frac{3}{\sqrt{n}}\Rightarrow\bbox[yellow]{n=16}\)

b) El error máximo permitido viene dado por la siguiente expresión, ver teoría de estadística

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\frac{3}{\sqrt{64}}\Rightarrow \bbox[yellow]{E=0,735}\)

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Probabilidad en Selectividad 2010 II

Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se consideran los sucesos \(A\), \(B\) y \(C\) de un experimento aleatorio, tales que:

\(P(A|C)\geq P(B|C);\qquad\)\(\qquad P(A|\bar{C})\geq P(B|\bar{C})\)

Razónese cuál de las siguientes desigualdades es siempre cierta

a) \(P(A)<P(B)\qquad\)b)\(P(A)\geq P(B)\)

Aplicando el Teorema de Bayes a cada desigualdad dada en el enunciado, ver probabilidad condicionada, se tiene

\(P(A|C)\geq P(B|C)\Rightarrow \frac{A\cap C}{P(C)}\geq\frac{P(B\cap C)}{P(C)}\Rightarrow P(A\cap C)\geq P(B\cap C)\)

Por otra parte,

\(P(A|\bar{C})\geq P(B|\bar{C})\Rightarrow \frac{A\cap \bar{C}}{P(\bar{C})}\geq\frac{P(B\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}\Rightarrow P(A\cap \bar{C})\geq P(B\cap \bar{C})\)

Por la definición de la probabilidad de la intersección se tiene

\(P(A\cap\bar{C})=P(A)-P(A\cap C)\quad\) y \(\quad P(B\cap\bar{C})=P(B)-P(B\cap C)\)

Es decir, \(P(A)-P(A\cap C)\geq P(B)-P(B\cap C)\)

Ordenando la expresión, se obtiene

\(P(A)-P(B)\geq P(A\cap C)-P(B\cap C)\)

Si \(P(A\cap C)\geq P(B\cap C)\Rightarrow P(A\cap C)-P(B\cap C)\geq 0\)

Uniendo ambas expresiones se tiene que \(P(A)-P(B)\geq 0\Rightarrow\bbox[yellow]{P(A)\geq P(B)}\)

Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se consideran los siguientes sucesos:
Suceso \(A\): La economía de un cierto país está en recesión
Suceso \(B\): Un indicador económico muestra que la economía de dicho país está en recesión

Se sabe que

\(P(A)=0,005;\qquad\qquad P(B|A)=0,95\qquad\qquad P(\bar{B}|\bar{A})=0,96\)

a) Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que la economía del país no está en recesión y además la economía del país esté en recesión
b) Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que a economía del país está en recesión

a) En este primer caso se pide que suceda a la vez el suceso \(A\) y el complementario de \(B\) (\(\bar{B})\), es decir, consultando la teoría de probabilidad, se tiene

\(P(A\cap\bar{B})=P(A)P(\bar{B}|A)=P(A)P(1-P(B|A))=0,005(1-0,95)=\bbox[yellow]{0,00025}\)

b) La probabilidad pedida será la unión de la probabilidad de que el indicador muestre que la economía está en recesión siendo este dato verídico (es decir, cumpliéndose también \(A\)) más la probabilidad de que el indicador muestre que está en recesión pero que el país no esté en realidad en recesión (es decir, que no se cumpla \(A\), sino su complementario, \(\bar{A}\)

\(P(B)=P((A\cap B)\cup (\bar{A}\cup B))=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)=P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})=P(A)P(B|A)+(1-P(A))(1-P(\bar{B}|\bar{A}))=0,005.0,95+(1-0,005)(1-0,96)=\bbox[yellow]{0,04455}\)

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Probabilidad en Selectividad 2010

Ejercicio : (Junio 2010 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Una bolsa contiene diez monedas equilibradas. Cinco de dichas monedas tienen cara y cruz, otras tres son monedas con dos caras y las dos restantes son monedas con dos cruces. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza

a) Calcúlese la probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento

b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz?

Para resolver el problema se definen primeramente las variables a utilizar:

\(A\equiv\) Escoger una monede con cara y cruz
\(B\equiv\) Escoger una moneda con dos caras
\(D\equiv\) Escoger una moneda con dos cruces
\(C\equiv\) Obtener cara en el lanzamiento de una moneda

Los datos que da el enunciado son los siguientes

\(P(A)=\frac{5}{10}\)
\(P(B)=\frac{3}{10}\)
\(P(D)=\frac{2}{10}\)
\(P(C|A)=\frac 12\)
\(P(C|B)=1\)
\(P(C|D)=0\)

a) La probabilidad de que salga cara será la probabilidad de que salga cara habiendo escogido la moneda \(A\), más la probabilidad de que salga cara habiendo escogido la \(B\), más la probabilidad de que salga cara habiendo escogido la \(D\), ver la teoría de la probabilidad

\(P(C)=P((A\cap C)\cup (B\cap C)\cup (D\cap C))=P(A\cap C)+P(B\cap C)+P(D\cap C)=P(A).P(C|A)+P(B)P(C|B)+P(D)P(C|D)=\frac{5}{10}.\frac 12+\frac{3}{10}.1+\frac{2}{10}.0=\bbox[yellow]{\frac{11}{20}}\)

b) Se trata de una probabilidad condicionada,
probabilidad condicionada

\(P(A|C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}=\frac{\frac{5}{10}.\frac 12}{\frac{11}{20}}=\bbox[yellow]{\frac{5}{11}}\)

Ejercicio : (Junio 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos de un experimento aleatorio tales que \(P(A)=0,2\) y \(P(B)=0,4\)

a) Si \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, determínses \(P(A\cap B)\)). ¿Son además \(A\) y \(B\) independientes? Razónese
b) Si \(A\) y \(B\) son independientes, calcúlese \(P(A\cap B)\). ¿Son \(A\) y \(B\) mutuamente excluyentes? Razónese
c) Si \(P(A|B)=0\), calcúlese \(P(A\cap B)\). ¿Son \(A\) y \(B\) mutuamente excluyentes?¿Son independientes? Razónese
d) Si \(A\subset B\), calcúlese \(P(A\cap B)\). ¿Son \(A\) y \(B\) independientes? Razónese

a) Dos sucesos son mutuamente excluyentes si al ocurrir uno es imposible que el otro ocurra, es decir, no existen elementos comunes ys u intersección es el vacío, ver teoría de la probabilidad

Luego, \(\bbox[yellow]{P(A\cap B)=0}\)

Además, \(\bbox[yellow]{\hbox{los sucesos no son independientes}}\), ya que si lo fueran debería cumplirse que \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) y este caso, \(P(A)P(B)=0,2.0,4=0,08\neq 0\)

b) Si los sucesos son independientes se tiene, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=0,2.0,4=\bbox[yellow]{0,08}\)

\(\bbox[yellow]{\hbox{No son excluyentes}}\) ya que la inersección es distinta de cero

c) Utilizando el Teorema de Bayes, ver probabilidad condicionada, se tiene

\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=0\Rightarrow P(A\cap B)=0\)

Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{los sucesos son excluyentes y no son independientes}}\)

d) Si \(A\subset B\), \(P(A\cap B)=P(A)=0,2\)

Es decir, \(P(A)P(B)=0,2.0,4=0,08\neq P(A\cap B)=0,2\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{Los sucesos no son independientes}}\)

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