\[\]Ejercicio 4: Determinar el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \((0,0)\), \((0,1)\) y \((2,3)\)
La ecuación general de una circunferencia viene dada por \(x^2+y^2+mx+ny+p=0\), ver geometría de una circunferencia
Sustituyendo los puntos dados en la ecuación se tiene
\(\displaystyle \begin{cases} p=0&\\\ 1+n+p=0&\\\ 4+9+2m+3n+p=0&\\\end{cases}\)
Sustituyendo el valor de \(p\) en la segunda ecuación, se obtiene \(n=-1\)
Incluyendo estos valores de \(n\) y \(p\) en la tercera ecuación se tiene
\(13+2m-3+0=0\Rightarrow m=\frac{3-13}{2}=-5\)
Luego, sabiendo además que
\(m=-2a=-5\Rightarrow a=\frac 52\)
\(n=-2b=-1\Rightarrow a=\frac 12\)
y
\(p=a^2+b^2-r^2\Rightarrow\frac{25}{4}+\frac 14=r^2\Rightarrow r=\frac{\sqrt{26}}{2}\)
Luego el resultado final será \(\bbox[yellow]{C(\frac 52,\frac 12),\quad r=\frac{\sqrt{26}}{2}}\) y \(\bbox[yellow]{x^2+y^2-5x-y=0}\)
\[\]Ejercicio 5: Encontrar el lugar geométrico de los puntos \(P(x,y)\) que equidistan de otro \(A(0,2)\) y de la recta \(r: 4x+1=0\)
Utilizando la expresión para la distancia entre dos puntos, ver distancia entre dos puntos, se tiene
\(d(P,A)=\sqrt{(x)^2+(y-2)^2}\)
Por otra parte, conociendo la ecuación que expresa la distancia de un punto a una recta dada, ver distancias, queda
\(d(P,r)=\frac{|4x+0y+1|}{4}=x+\frac 14\)
Luego tiene que cumplirse que
\(\sqrt{x^2+y^2-4y+4}=x+\frac 14\)
Elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación y agrupando los términos, se tiene el resultado final
\(x^2+y^2-4y+4=x^2+\frac x2+\frac{1}{16}\Rightarrow\bbox[yellow]{y^2-4y=\frac x2-\frac{63}{16}}\)
\[\] Ejercicio 6: Hallar la ecuación de una circunferencia que tiene centro \(C(1,2)\) y es tangente a la recta \(s: 4x+3y-2=0\)
Como la recta \(s\) dada es tangente a la circunferencia pedida, la distancia de dicha recta al centro \(C(1,2)\) de la circunferencia será el radio \(r\), ver cómo calcular distancias,
\(r=d(C,s)=\frac{|4.1+3.2-2|}{\sqrt{16+9}}=\frac{8}{\sqrt{25}}\)
De esta forma, la ecuación buscada será, ver expresión de la ecuación de la circunferencia,
\(\bbox[yellow]{(x-1)^2+(y-2)^2=\frac{64}{25}}\)
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