Ejercicios de Continuidad y derivabilidad III

Ejercicio 1: Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función \(\displaystyle\begin{cases}\frac 1x&-2\leq x\leq -1\\\frac{x^2-3}{2}&-1\leq x\leq 0\\\end{cases}\) en el intervalo \([-2,0)\)

La función está formada por dos polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad en el intervalo \([-2,0)\) es \(x=-1\) (ver continuidad de funciones)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{+}}\frac{x^2-3}{2}=-1\)

\(\lim\limits_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{-}}\frac 1x=f(-1)=-1\)

Como \(\lim\limits_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{-}}f(x)=f(-1)\)(ver continuidad de funciones, la función es continua en \(x=-1\) (y, por tanto en el intervalo \([-2,0)\))

La derivada de \(f(x)\) viene dada por (ver la tabla de derivadas),

\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x^2}&-2\leq x\leq -1\\\ x&-1\leq x\leq 0\\\end{cases}\)

Para que la función sea derivable se tiene que tener \(f'(-1^{+})=f'(-1^{-})\), en este caso \(f'(-1^{+})=f'(-1^{-})=-1\), luego la función es derivable en el punto \(-1\), y por tanto lo es en el intervalo

\(\boxed{[-2,0)}\)

 

Ejercicio 2: Aplicar el Teorema del valor medio y hallar el punto \(c\), si es posible, a la función \(f(x)=x^2+4x+3\) en \([-2,-1]\)

La función \(f(x)\) es derivable (y, por lo tanto continua), ver derivabilidad, en todo \(\mathbb{R}\) (en concreto en el intervalo \([-2,-1]\))

Luego las hipótesis del Teorema del valor intermedio (ver teoremas de continuidad y derivabilidad) se verifican

Por lo tanto, existe un punto \(c\) tal que

\(f'(c)=\dfrac{f(-2)-f(-1)}{-2-(-1)}=1\)

De forma que se debe encontrar \(c\) tal que

\(f'(c)= 2c+4=1\Rightarrow c=-\frac 32\)

Por lo que el resultado final del ejercicio es

\(\boxed{c=-\frac 32}\)

Ejercicio 3: Hallar los parámetros \(a\) y \(b\) para los cuales la función \(\displaystyle\begin{cases}x^2-ax+2b&x\leq 0\\\frac{\ln (1+x)}{x}&x>0\\\end{cases}\) es continua y derivable

La función está formada por un polinomio y por la función \(\dfrac{\ln (1+x)}{x}\), luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre estos dos polinomios, \(x=0\) (ver continuidad de funciones)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\ln (1+x)}{x}=\frac 00\)

De manera que se obtiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolver el límite (ver cómo resolver límites), se puede utilizar la Regla de L'Hôpital (ver la Regla de L'Hôpital y la tabla de derivadas),

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\ln (1+x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{1+x}=1\)

Calculando el otro límite lateral y el valor de la función en el punto, queda

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}x^2-ax+2b=f(0)=2b\)

Luego, para que la función sea continua en \(0\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que

\(2b=1\Rightarrow b=\frac 12\)

Para comprobar que la función sea derivable en el cero, se estudia la derivada de \(f'(x)\),

\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases}2x+a&x\leq 0\\\dfrac{\frac{x}{1+x}-\ln (1+x)}{x^2}&x>0\\\end{cases}\)

Para comprobar que la función es derivable en \(x=0\), se mira el valor de la derivada \(f'(x)\) cuando la \(x\) se acerca a dicho punto (ver derivabilidad),

\(f'(0^{-})=a\)

En el intervalo \(x>0\), se estudia la derivada con la definición formal (ver derivabilidad)

\(f'(0^{-})=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\frac{\ln (1+h)}{h}-1}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln (1+h)-h}{h^2}\)

Aplicando la Regla de L'Hôpital para resolver el límite, se obtiene

\(f'(0^{-})=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{-h}{2h+2h^2}\)

Aplicando de nuevo la Regla de L'Hôpital, se tiene

\(f'(0^{-})=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{-1}{2+4h}=-\frac 12\)

De forma, para que la función sea derivable, \(f'(0^{-})=f'(0^{+})\), es decir, teniendo en cuenta el valor obtenido anteriormente para \(b\), el resultado final del ejercicio es:

\(\boxed{a=-\frac 12,\quad b=\frac 12}\)

 

Ejercicio 4: Explicar porqué \(f(x)=\cos x\) cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo \(\displaystyle[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\) y determinar el punto donde se verifica la tesis de dicho Teorema

La función \(f(x)\) es derivable (y, por lo tanto continua), ver derivabilidad, en todo \(\mathbb{R}\) (en concreto en el intervalo \(\displaystyle[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\))

Además, \(\displaystyle f(\frac{\pi}{2})=f(\frac{3\pi}{2})=0\) (ver expresiones trigonométricas)

Luego las hipótesis del Teorema de Rolle (ver Teoremas de continuidad y derivabilidad) se verifican

Por lo tanto, existe un punto \(c\) en \(\displaystyle[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\) tal que \(f'(c)=0\)

De forma que se debe encontrar \(c\) tal que (ver tabla de derivadas)

\(f'(c)= 0\Rightarrow -\sin x=0\)

El valor de la \(x\) puede ser \(0\) y también \(\pi\), pero como el enunciado pide aplicar el Teorema en el intervalo \(\displaystyle[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\), el resultado es

\(\boxed{\displaystyle c=\pi}\)

Ejercicio 5: Probar que \(f(x)\) cumple las hipótesis del Teorema del valor medio en \([2,6]\) y determinar asimismo el punto donde se cumple la tesis de dicho Teorema \(\displaystyle\begin{cases}2x-3&x<4\\-x^2+10x-19&x\geq 4\\\end{cases}\)

Para que se pueda aplicar el Teorema, la función \(f(x)\) ha de ser continua en el intervalo pedido \([2,6]\) y derivable en \((2,6)\) (ver Teoremas de derivabilidad).

Como la función está formada por dos polinomios y éstos son continuos en \(\mathbb{R}\) (ver continuidad de una función), el único punto de posible discontinuidad es \(x=4\)

Por lo tanto, la continuidad se estudiará en ese punto

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 4^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 4^{+}}-x^2+10x-19=f(4)=5\)

\(\lim\limits_{x\to 4^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 4^{-}}2x-3=5\)

Como \(\lim\limits_{x\to 4^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 4^{-}}f(x)=f(4)=5\) (ver continuidad de una función), la función es continua en \(x=4\) (y, por tanto en el intervalo \([2,6]\))

La derivada de \(f(x)\) viene dada por (ver la tabla de derivadas),

\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases}2&x<4\\\ -2x+10&x\geq 4\\\end{cases}\)

Para que la función sea derivable se tiene que tener \(f'(4^{+})=f'(4^{-})\), en este caso \(f'(4^{+})=f'(4^{-})=2\), luego la función es derivable en el punto \(4\), y por tanto lo es en el intervalo pedido

Una vez se han verificado las hipótesis, el Teorema asegura que existe al menos un punto \(c\) en el intervalo \((2,6)\) tal que

\(f'(c)=\frac{f(6)-f(2)}{6-2}=1\)

Como la derivada de la función vale o \(2\) o \(-2x+10\), el punto buscado ha de estar en el intervalo \(x\geq 4\), de forma que

\(-2c+10=1\)

Despejando el punto \(c\) de la expresión anterior se obtiene el resultado final:

\(\boxed{c=\frac 92}\)

 

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