Ejercicios de derivadas V

Ejercicio 1: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(3x^2+5)\), así como el valor de la misma en el punto \(x=3\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:

\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}6x=3x\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=3\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(3)=\boxed{9}\)

Ejercicio 2: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=(x^4+2x)\frac{1}{x}\), así como el valor de la misma en el punto \(x=2\)

Reescribiendo la función: \(f(x)=x^3+2\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:

\(\displaystyle f'(x)=3x^2\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=2\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(2)=\boxed{12}\)

 

Ejercicio 3: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{3x-2}\), así como el valor de la misma en el punto \(x=\frac{4}{3}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:

\( f'(x)=\displaystyle\frac{2(3x-2)-3(2x+1)}{(3x-2)^2}=\frac{6x-4-6x-3}{(3x-2)^2}=\frac{-7}{(3x-2)^2}\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=\frac{4}{3}\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(\frac{4}{3})=\boxed{\frac{-7}{4}}\)

Ejercicio 4: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=(\frac{x-1}{x})(3x+1)\), así como el valor de la misma en el punto \(x=1\)

Reescribiendo la función se obtiene \(f(x)=\frac{1}{x}(x-1)(3x-1)=\frac{1}{x}(3x^2-x-3x+1)=\frac{1}{x}(3x^2-4x+1)=3x-4+\frac{1}{x}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una suma y la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:

\( f'(x)=\displaystyle 3-\frac{1}{x^2}\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=1\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(1)=\boxed{2}\)

Ejercicio 5: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x}}\), así como el valor de la misma en el punto \(x=4\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia y la derivada de un cociente), se obtiene la derivada de la función:

\( f'(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x}-\frac{x-2}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2}=\frac{\sqrt{x}-\frac{x-2}{2\sqrt{x}}}{x}\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=4\)) se obtiene el resultado final,

\(\displaystyle f'(4)=\frac{2-\frac{2}{4}}{4}=\boxed{\frac{3}{8}}\)

Ejercicio 6: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de un cociente), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle\frac{\cos x x-\sin x}{x^2}}\)

 

Ejercicio 7: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=x^2\cos x\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de un producto), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle 2x\cos x-x^2\sin x}\)

Ejercicio 8: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\cos ^2 3x\)

La función puede escribirse como \(f(x)=(\cos 3x)^2\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=2\cos 3x(-\sin 3x)3=\boxed{-6\cos 3x\sin 3x}\)

Ejercicio 9: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=5x^{\frac{2}{3}}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=\frac{10}{3}x^{-\frac{1}{3}}\)

Utilizando la regla para derivar potencias de nuevo, se halla la segunda derivada

\( f''(x)=-\frac{10}{9}x^{-\frac{4}{3}}\)

Así que reescribiendo la primera y segunda derivada, quedaría:

\(\displaystyle\boxed{ f'(x)=\frac{10}{3x^{\frac{1}{3}}},\quad f''(x)=-\frac{10}{9x^{\frac{4}{3}}}}\)

Ejercicio 10: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x+1}{x}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto derivada de una potencia y la derivada de un cociente), se obtiene:

\( f'(x)=\frac{(3x-2)x-(x^3-2x+1)}{x^2}=\frac{3x^2-2x-x^3+2x-1}{x^2}=\frac{3x^2-x^3-1}{x^2}\)

Utilizando la regla para derivar potencias y la del cociente de nuevo, se halla la segunda derivada

\( f''(x)=\frac{(6x-3x^2)x^2-(3x^2-x^3-1)2x}{x^4}=\frac{6x^3-3x^4-6x^3-2x^4-2x}{x^4}=\frac{-5x^4-2x}{x^4}\)

Así que el resultado final sería:

\(\displaystyle\boxed{ f'(x)=\frac{3x^2-x^3-1}{x^2},\quad f''(x)=\frac{-5x^4-2x}{x^4}}\)

Ejercicio 11: Sea la función \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x}\). Calcular la recta tangente y la recta normal en el punto \(x=2\)

Primero se calcula la derivada de la función;

\(f'(x)=\frac{2x^2-x^2-1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\)

Evaluando el punto \(x=2\) en la función y en la derivada de la función se obtiene: \(f(2)=\frac{5}{2}\) y \(f'(2)=\frac{3}{4}\)

De forma que la ecuación tangente de \(f(x)\) en el punto \(x=2\) es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-\frac{5}{2}=\frac{3}{4}(x-2)\)

Agrupando términos, queda

\(\boxed{\displaystyle y-\frac{3x}{4}-1=0}\)

La ecuación normal es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-\frac{5}{2}=-\frac{4}{3}(x-2)\)

Agrupando términos, se obtiene

\(\boxed{\displaystyle y+\frac{4x}{3}-\frac{31}{6}=0}\)

 

 

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