Ejercicios de derivadas IX

Ejercicio 1: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=(x^2+3)(10x^{-3})\), así como el valor de la misma en el punto \(x=-2\)

Reescribiendo la función, queda:

\(\displaystyle f(x)=\frac{10}{x^3}(x^2+3)=\frac{10}{x}+\frac{30}{x^3}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:

\(\displaystyle f'(x)=-\frac{10}{x^2}-\frac{90}{x^4}\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=-2\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(-2)=-\frac{10}{4}-\frac{90}{16}=\boxed{-\frac{130}{16}}\)

Ejercicio 2: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-2}\), así como el valor de la misma en el punto \(x=1\)

Reescribiendo la función, queda: \(f(x)=x^{\frac{4}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente), se halla la derivada de la función:

\(\displaystyle f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=-\frac{4}{(x-2)^2}\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=1\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(1)=\boxed{-4}\)

Ejercicio 3: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=(x^2+2)^3\), así como el valor de la misma en el punto \(x=1\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:

\( f'(x)=\displaystyle 3(x^2+2)^22x=6x(x^2+2)^2\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=1\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(1)=\boxed{54}\)

Ejercicio 4: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}(\sqrt{x}-3x)\)

La función puede reescribirse como \(f(x)=x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{2}}-3x)=x^{\frac{5}{6}}-3x^{\frac{4}{3}}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=\displaystyle\frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}-4x^{\frac{1}{3}}=\displaystyle\boxed{\frac{5}{6x^{\frac{1}{6}}}-4x^{\frac{1}{3}}}\)

 

Ejercicio 5: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x+2} \)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente), se obtiene:

\( f'(x)=\displaystyle\frac{x^2+2x+2-(x+1)(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}=\boxed{\displaystyle\frac{-x^2-2x}{(x^2+2x+2)^2}}\)

Ejercicio 6: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=x^2\tan x\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de un producto), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{2x\tan x+x^2\sec ^2x}\)

Ejercicio 7: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=8\sec x+\tan 2x\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{8\sec x\tan x+2\sec ^2 2x}\)

Ejercicio 8: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{x}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto derivada de un cociente y de funciones trigonométricas), se obtiene:

\(\displaystyle\boxed{ f'(x)=\frac{\sin x x-\cos x}{x^2}}\)

Ejercicio 9: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=x^2\cos x+3x\sin x-4\cos x\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto derivada de un producto y de funciones trigonométricas), se obtiene:

\(\displaystyle f'(x)=2x\cos x -x^2\sin x+3\sin x+3x\cos x+4\sin x=\boxed{5x\cos x+7\sin x-x^2\sin x}\)

Ejercicio 10: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto con la derivada de un cociente), se obtiene:

\( f'(x)=-\frac{3}{x^2}\)

Utilizando la regla para derivar potencias, se halla la segunda derivada

\( f''(x)=-\frac{6}{x^3}\)

Así que el resultado final será:

\(\displaystyle\boxed{f'(x)=-\frac{3}{x^2},\quad f''(x)=-\frac{6}{x^3}}\)

Ejercicio 11: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=-x+\frac{10}{x^3}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto con la derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=1-\frac{30}{x^4}\)

Utilizando la regla para derivar potencias, se halla la segunda derivada

\( f''(x)=\frac{120}{x^5}\)

Así que el resultado final será:

\(\boxed{f'(x)=\displaystyle 1-\frac{30}{x^4},\quad f''(x)=\displaystyle\frac{120}{x^5}}\)

Ejercicio 12: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{6}{\sqrt{x^3}}\)

La función puede escribirse en forma de potencia: \(f(x)=6x^{-\frac{3}{2}}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto con la derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=-\frac{9}{x^{\frac{5}{2}}}\)

Utilizando la regla para derivar potencias de nuevo, se halla la segunda derivada

\( f''(x)=\frac{45}{2x^{\frac{7}{2}}}\)

Así que el resultado final será:

\(\displaystyle\boxed{f'(x)=-\frac{9}{x^{\frac{5}{2}}},\quad f''(x)=\frac{45}{2x^{\frac{7}{2}}}}\)

Ejercicio 13: Sea la función \(\displaystyle f(x)=\cos x\). Calcular la recta tangente y la recta normal en el punto \(x=\frac{\pi}{2}\)

Primero se calcula la derivada de la función utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas);

\(f'(x)=-\sin x\)

Evaluando el punto \(x=\frac{\pi}{2}\) en la función y en la derivada de la función se obtiene (ver expresiones trigonométricas): \(f(\frac{\pi}{2})=0\) y \(f'(\frac{\pi}{2})=-1\)

De forma que la ecuación tangente de \(f(x)\) en el punto \(x=1\) es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-0=-1(x-\frac{\pi}{2})\)

Agrupando términos, queda

\(\boxed{\displaystyle y+x-\frac{\pi}{2}=0}\)

La ecuación normal es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-0=(1-\frac{\pi}{2})\)

Agrupando términos, se obtiene

\(\boxed{\displaystyle y-x+\frac{\pi}{2}=0}\)

Ejercicio 14: Sea la función \(\displaystyle f(x)=\sqrt{3x^2-2}\). Calcular la recta tangente y la recta normal en el punto \((3,5)\)

Primero se calcula la derivada de la función(con ayuda de la tabla de derivadas);

\(f'(x)=\frac{1}{2}(3x^2-2)^{-\frac{1}{2}}6x=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-2}}\)

Se evalúa el punto \(x=3\) en la función (en este caso este valor lo aporta el enunciado) y en la derivada de la función obteniendo: \(f(3)=5\) y \(f'(3)=\frac{9}{5}\)

De forma que la ecuación tangente de \(f(x)\) en el punto \(x=3\) es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-5=\frac{9}{5}(x-3)\)

Agrupando términos, queda

\(\boxed{\displaystyle y-\frac{9x}{5}+\frac{2}{5}=0}\)

La ecuación normal es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-5=-\frac{5}{9}(x-3)\)

Agrupando términos, se obtiene

\(\boxed{\displaystyle y+\frac{5x}{9}-\frac{60}{9}=0}\)

Ejercicio 15: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{2x^3+3x}\)

Reescribiendo la función como una potencia: \(f(x)=(2x^3+3x)^{\frac{1}{3}}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=\frac{1}{3}(2x^3+3x)^{-\frac{2}{3}}(6x^2+3)=\boxed{\displaystyle \frac{2x^2+1}{\sqrt[3]{(2x^3+3x)^2}}}\)

 

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