\[\]Ejercicio 1: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=(x^2+3)(10x^{-3})\), así como el valor de la misma en el punto \(x=-2\)
Reescribiendo la función, queda:
\(\displaystyle f(x)=\frac{10}{x^3}(x^2+3)=\frac{10}{x}+\frac{30}{x^3}\)
Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:
\(\displaystyle f'(x)=-\frac{10}{x^2}-\frac{90}{x^4}\)
Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=-2\)) se obtiene el resultado,
\(\displaystyle f'(-2)=-\frac{10}{4}-\frac{90}{16}=\bbox[yellow]{-\frac{130}{16}}\)
Ejercicio 2: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-2}\), así como el valor de la misma en el punto \(x=1\)
Reescribiendo la función, queda: \(f(x)=x^{\frac{4}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}\)
Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente), se halla la derivada de la función:
\(\displaystyle f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=-\frac{4}{(x-2)^2}\)
Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=1\)) se obtiene el resultado,
\(\displaystyle f'(1)=\bbox[yellow]{-4}\)
\[\] Ejercicio 3: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=(x^2+2)^3\), así como el valor de la misma en el punto \(x=1\)
Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:
\( f'(x)=\displaystyle 3(x^2+2)^22x=6x(x^2+2)^2\)
Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=1\)) se obtiene el resultado,
\(\displaystyle f'(1)=\bbox[yellow]{54}\)
\[\]Ejercicio 4: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}(\sqrt{x}-3x)\)
La función puede reescribirse como \(f(x)=x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{2}}-3x)=x^{\frac{5}{6}}-3x^{\frac{4}{3}}\)
Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de una potencia), se obtiene:
\( f'(x)=\displaystyle\frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}-4x^{\frac{1}{3}}=\displaystyle\bbox[yellow]{\frac{5}{6x^{\frac{1}{6}}}-4x^{\frac{1}{3}}}\)
\[\]Ejercicio 5: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x+2} \)
Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente), se obtiene:
\( f'(x)=\displaystyle\frac{x^2+2x+2-(x+1)(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}=\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{-x^2-2x}{(x^2+2x+2)^2}}\)
\[\] Ejercicio 6: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=x^2\tan x\)
Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de un producto), se obtiene:
\( f'(x)=\bbox[yellow]{2x\tan x+x^2\sec ^2x}\)
\[\] Ejercicio 7: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=8\sec x+\tan 2x\)
Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se obtiene:
\( f'(x)=\bbox[yellow]{8\sec x\tan x+2\sec ^2 2x}\)
\[\] Ejercicio 8: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{x}\)
Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto derivada de un cociente y de funciones trigonométricas), se obtiene:
\(\displaystyle\bbox[yellow]{ f'(x)=\frac{\sin x x-\cos x}{x^2}}\)
\[\] Ejercicio 9: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=x^2\cos x+3x\sin x-4\cos x\)
Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto derivada de un producto y de funciones trigonométricas), se obtiene:
\(\displaystyle f'(x)=2x\cos x -x^2\sin x+3\sin x+3x\cos x+4\sin x=\bbox[yellow]{5x\cos x+7\sin x-x^2\sin x}\)
\[\] Ejercicio 10: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x}\)
Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto con la derivada de un cociente), se obtiene:
\( f'(x)=-\frac{3}{x^2}\)
Utilizando la regla para derivar potencias, se halla la segunda derivada
\( f»(x)=-\frac{6}{x^3}\)
Así que el resultado final será:
\(\displaystyle\bbox[yellow]{f'(x)=-\frac{3}{x^2},\quad f»(x)=-\frac{6}{x^3}}\)
\[\] Ejercicio 11: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=-x+\frac{10}{x^3}\)
Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto con la derivada de una potencia), se obtiene:
\( f'(x)=1-\frac{30}{x^4}\)
Utilizando la regla para derivar potencias, se halla la segunda derivada
\( f»(x)=\frac{120}{x^5}\)
Así que el resultado final será:
\(\bbox[yellow]{f'(x)=\displaystyle 1-\frac{30}{x^4},\quad f»(x)=\displaystyle\frac{120}{x^5}}\)
\[\] Ejercicio 12: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{6}{\sqrt{x^3}}\)
La función puede escribirse en forma de potencia: \(f(x)=6x^{-\frac{3}{2}}\)
Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto con la derivada de una potencia), se obtiene:
\( f'(x)=-\frac{9}{x^{\frac{5}{2}}}\)
Utilizando la regla para derivar potencias de nuevo, se halla la segunda derivada
\( f»(x)=\frac{45}{2x^{\frac{7}{2}}}\)
Así que el resultado final será:
\(\displaystyle\bbox[yellow]{f'(x)=-\frac{9}{x^{\frac{5}{2}}},\quad f»(x)=\frac{45}{2x^{\frac{7}{2}}}}\)
\[\] Ejercicio 13: Sea la función \(\displaystyle f(x)=\cos x\). Calcular la recta tangente y la recta normal en el punto \(x=\frac{\pi}{2}\)
Primero se calcula la derivada de la función utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas);
\(f'(x)=-\sin x\)
Evaluando el punto \(x=\frac{\pi}{2}\) en la función y en la derivada de la función se obtiene (ver expresiones trigonométricas): \(f(\frac{\pi}{2})=0\) y \(f'(\frac{\pi}{2})=-1\)
De forma que la ecuación tangente de \(f(x)\) en el punto \(x=1\) es (ver ecuaciones de la recta);
\(\displaystyle y-0=-1(x-\frac{\pi}{2})\)
Agrupando términos, queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle y+x-\frac{\pi}{2}=0}\)
La ecuación normal es (ver ecuaciones de la recta);
\(\displaystyle y-0=(1-\frac{\pi}{2})\)
Agrupando términos, se obtiene
\(\bbox[yellow]{\displaystyle y-x+\frac{\pi}{2}=0}\)
\[\] Ejercicio 14: Sea la función \(\displaystyle f(x)=\sqrt{3x^2-2}\). Calcular la recta tangente y la recta normal en el punto \((3,5)\)
Primero se calcula la derivada de la función(con ayuda de la tabla de derivadas);
\(f'(x)=\frac{1}{2}(3x^2-2)^{-\frac{1}{2}}6x=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-2}}\)
Se evalúa el punto \(x=3\) en la función (en este caso este valor lo aporta el enunciado) y en la derivada de la función obteniendo: \(f(3)=5\) y \(f'(3)=\frac{9}{5}\)
De forma que la ecuación tangente de \(f(x)\) en el punto \(x=3\) es (ver ecuaciones de la recta);
\(\displaystyle y-5=\frac{9}{5}(x-3)\)
Agrupando términos, queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle y-\frac{9x}{5}+\frac{2}{5}=0}\)
La ecuación normal es (ver ecuaciones de la recta);
\(\displaystyle y-5=-\frac{5}{9}(x-3)\)
Agrupando términos, se obtiene
\(\bbox[yellow]{\displaystyle y+\frac{5x}{9}-\frac{60}{9}=0}\)
\[\] Ejercicio 15: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{2x^3+3x}\)
Reescribiendo la función como una potencia: \(f(x)=(2x^3+3x)^{\frac{1}{3}}\)
Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se obtiene:
\( f'(x)=\frac{1}{3}(2x^3+3x)^{-\frac{2}{3}}(6x^2+3)=\bbox[yellow]{\displaystyle \frac{2x^2+1}{\sqrt[3]{(2x^3+3x)^2}}}\)
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