Ejercicios de derivadas X

Ejercicio 16: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+3}}\)

Reescribiendo primero la función en forma de potencia: \(f(x)=(x+3)^{-\frac{1}{2}}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle -\frac{1}{2\sqrt{(x+3)^3}}}\)

Ejercicio 17: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\csc ^2 x \)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle -2\csc ^2 x\cot x}\)

Ejercicio 18: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\cos 2x\)

Mirando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle -2\sin 2x}\)

Ejercicio 19: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\sin x+\cos x}\)

Con la ayuda de la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de una potencia), se tiene que la derivada de esta función es:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \frac{\cos x-\sin x}{2\sqrt{\sin x-\cos x}}}\)

Ejercicio 20: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\tan ^2 x-\cos 2x\)

Mirando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de una potencia), se tiene que la derivada de esta función es:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle 2\tan x\sec ^2 x+2\sin 2x}\)

 

Ejercicio 21: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=e^{\frac{\sin x}{\cos x}}\)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una exponencial y la de funciones trigonométricas), se tiene que:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \frac{(\cos x)^2-(\sin x)^2}{(\cos x)^2}}\)

Ejercicio 22: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=(x^2+2x)\ln x \)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un logaritmo y de un producto de funciones), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle (2x+2)\ln x\frac{(x^2+2x)}{x}}\)

Ejercicio 23: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\ln (\cos 3x) \)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de funciones trigonométricas y de la función logarítimica) y utilizando la definición de la tangente (ver ecuaciones trigonométricas), se obtiene:

\( f'(x)=\frac{-3\sin 3x}{\cos 3x}=\boxed{\displaystyle -3\tan 3x}\)

Ejercicio 24: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{e^{3x}+x^3}{\sin x}\)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente, de funciones trigonométricas y de la función exponencial), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle\frac{(3 e^{3x}+3x^2)\sin x-(e^{3x}+x^3)\cos x}{(\sin x)^2}}\)

Ejercicio 25: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\ln x\cos(x^2-7)\)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un producto, la derivada de un logaritmo y de funciones trigonométricas), se tiene que la derivada de la función es:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \frac{\cos(x^2-7)}{x}-2x\sin(x^2-7)\ln x}\)

Ejercicio 26: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=6^{\cos(x^2+3)}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un número elevado a una potencia), se tiene que:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle -2x\sin(x^2+3)6^{\cos(x^2+3)}\ln 6}\)

 

Ejercicio 27: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=e^{x^2\cos x}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de la exponencial y de un producto de funciones), se tiene que:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle (2x\cos x-x^2\sin x)e^{x^2\cos x}}\)

Ejercicio 28: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\ln (\frac{x^2-3}{x+1})\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada del logaritmo y de un cociente de funciones), se tiene que:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \frac{2x(x+1)-(x^2-3)}{(x^2-3)(x+1)}}\)

Ejercicio 29: Dadas las funciones \(f(x)=\sqrt{x+3}\) y \(g(x)=\ln (8x)\)\, escribir la función \(g\; o\; f\) y calcular su derivada

La composición de las dos funciones, \(g\; o\; f\) es (ver cómo se componen dos funciones):

\(g o f(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x+3})=\ln (8\sqrt{x+3})\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (mirando la derivada de un logaritmo y de una potencia), se tiene que la derivada de la composición es:

\( (g\; o\; f)'(x)=\displaystyle\frac{\frac{4}{\sqrt{x+3}}}{8\sqrt{x+3}}=\boxed{\displaystyle \frac{1}{2(x+3)}}\)

Ejercicio 30: Dadas las funciones \(f(x)=\cos x+\frac{1}{x}\) y \(g(x)=e^{x^2}\)\, escribir la función \(g\; o\; f\) y calcular su derivada

La composición de las dos funciones, \(g\; o\; f\) es (ver cómo se componen dos funciones),

\(g\; o\; f(x)=g(f(x))=g(\cos x+\frac{1}{x})=e^{(\cos x+\frac{1}{x})^2}=e^{\cos ^2 x+\frac{1}{x^2}+\frac{2\cos x}{x}}\)

Mirando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de la exponencial y de las funciones trigonométricas), se tiene que la derivada de la composición es:

\( (g\; o\; f)'(x)=\boxed{\displaystyle (-2\cos x\sin x-\frac{2}{x^3}+\frac{-2\sin xs+2\cos x}{x^2})e^{\cos ^2 x+\frac{1}{x^2}+\frac{2\cos x}{x}}}\)

 

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