Ejercicios de derivadas VII

Ejercicio 1: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=(x^3-6x)(x^2+2x+1)\), así como el valor de la misma en el punto \(x=0\)

Reescribiendo la función, queda:

\(\displaystyle f(x)=x^5+2x^4+x^3-6x^3-12x^2-6x=x^5+2x^4-5x^3-12x^2-6x\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:

\(\displaystyle f'(x)=5x^4+8x^3-15x^2-24x-6\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=0\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(0)=\boxed{-6}\)

Ejercicio 2: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}(x+3)\), así como el valor de la misma en el punto \(x=1\)

Reescribiendo la función, queda: \(f(x)=x^{\frac{4}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función:

\(\displaystyle f'(x)=\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{2}{3}}=\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3}+\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=1\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(1)=\boxed{\frac{5}{3}}\)

Ejercicio 3: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=\frac{x^4-3x^2+1}{x^3-6x^2+2}\), así como el valor de la misma en el punto \(x=1\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:

\( f'(x)=\displaystyle\frac{(4x^3-6x)(x^3-6x^2+2)-(x^4-3x^2+1)(3x^2-12x)}{(x^3-6x^2+2)^2}\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=1\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(1)=\boxed{-\frac{1}{3}}\)

Ejercicio 4: Calcular la derivada de la función \(\displaystyle f(x)=(2x^{-2})(x-1)\), así como el valor de la misma en el punto \(x=-1\)

Reescribiendo la función se obtiene \(f(x)=\frac{2}{x^2}(x-1)=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de la resta y la derivada de una potencia), se halla la derivada de la función de la siguiente manera:

\( f'(x)=\displaystyle -\frac{2}{x^2}+\frac{4}{x^3}\)

Evaluando la derivada en el punto pedido (\(x=-1\)) se obtiene el resultado,

\(\displaystyle f'(-1)=\boxed{-6}\)

Ejercicio 5: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=x\cos x+\sin x\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de un producto), se obtiene:

\( f'(x)=\cos x-x\sin x+\sin x=\boxed{\displaystyle\cos x+\sin x(1-x)}\)

Ejercicio 6: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=-2x+\tan x \)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de una suma), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle -2+\sec^2x }\)

Ejercicio 7: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{\sec^2x}{x+2}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de un producto), se obtiene:

\( f'(x)=\displaystyle\frac{(2\sec^2x\tan x)(x+2)-\sec^2x}{(x+2)^2}=\frac{2\sec^2x\tan x x+4\sec^2x\tan x-\sec^2 x}{(x+2)^2}=\boxed{\displaystyle\frac{\sec^2x(2\tan x x+4\tan x-1)}{(x+2)^2}}\)

Ejercicio 8: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sin x\cos x\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de un producto), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\cos^2x-\sin^2x}\)

 

 

Ejercicio 9: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+2}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto derivada de un cociente), se obtiene:

\( f'(x)=\frac{(x+2)-x}{(x+2)^2}=\frac{2}{(x+2)^2}=2(x+2)^{-2}\)

Utilizando la regla para derivar un cociente de nuevo, se halla la segunda derivada

\( f''(x)=-4(x+2)^{-3}=-\frac{4}{(x+2)^3}\)

Así que reescribiendo la primera y segunda derivada, quedaría:

\(\displaystyle\boxed{ f'(x)=\frac{2}{(x+2)^2},\quad f''(x)=-\frac{4}{(x+2)^3}}\)

Ejercicio 10: Calcular la primera y segunda derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=x+\frac{5}{x^2}\)

La función puede reescribirse en forma de potencia \(f(x)=x+5x^{-2}\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=1-\frac{10}{x^3}=1-10x^{-3}\)

Utilizando la regla para derivar potencias de nuevo, se halla la segunda derivada

\( f''(x)=30x^{-4}=\frac{30}{x^4}\)

Así que el resultado final será:

\(\displaystyle\boxed{f'(x)=1-\frac{10}{x^3},\quad f''(x)=\frac{30}{x^4}}\)

Ejercicio 11: Sea la función \(\displaystyle f(x)=\frac{2x^3}{x+3}\). Calcular la recta tangente y la recta normal en el punto \(x=1\)

Primero se calcula la derivada de la función;

\(f'(x)=\displaystyle\frac{(6x^2)(x+3)-2x^3}{(x+3)^2}=\displaystyle\frac{6x^3+18x^2-2x^3}{(x+3)^2}\)

Evaluando el punto \(x=1\) en la función y en la derivada de la función se obtiene: \(f(1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) y \(f'(1)=\frac{22}{16}=\frac{11}{8}\)

De forma que la ecuación tangente de \(f(x)\) en el punto \(x=1\) es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-\frac{1}{2}=\frac{11}{8}(x-1)\)

Agrupando términos, queda

\(\boxed{\displaystyle y-\frac{11x}{8}-\frac{5}{8}=0}\)

La ecuación normal es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-\frac{1}{2}=-\frac{8}{11}(x-1)\)

Agrupando términos, se obtiene

\(\boxed{\displaystyle y+\frac{8x}{11}-\frac{5}{22}=0}\)

Ejercicio 12: Sea la función \(\displaystyle f(x)=\sin 2x\). Calcular la recta tangente y la recta normal en el punto \(x=\pi\)

Primero se calcula la derivada de la función;

\(f'(x)=2\cos 2x\)

Sabiendo que \(2x\) cuando \(x=\pi\) es \(2\pi\) y que \(\cos 2\pi=1\),ver EC TRIGO, se evalúa el punto \(x=\pi\) en la función y en la derivada de la función obteniendo: \(f(\pi)=0\) y \(f'(\pi)=2\)

De forma que la ecuación tangente de \(f(x)\) en el punto \(x=\pi\) es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-0=2(x-\pi)\)

Agrupando términos, queda

\(\boxed{\displaystyle y-2x+2\pi=0}\)

La ecuación normal es (ver ecuaciones de la recta);

\(\displaystyle y-0=-\frac{1}{2}(x-\pi)\)

Agrupando términos, se obtiene

\(\boxed{\displaystyle y+\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}=0}\)

Ejercicio 13: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=-\frac{3}{\sqrt{x}}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \frac{3}{2x^{\frac{3}{2}}}}\)

 

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