Determinantes

Propiedades de los determinantes

- Si en una fila de un determinante todos los términos están multiplicados por la misma constante, dicha constante sale multiplicando al determinante

Ejemplo: \(\begin{array}{|crl|}2 & 4 \\-6 & 8\end{array}=2.\begin{array}{|crl|}1 & 2 \\-3 & 4\end{array}\)

- Si en un determinante se intercambia la posición entre dos filas (o entre dos columnas), el determinante cambia de signo

Ejemplo: \(\begin{array}{|crl|}1 & 4 \\3 & -5\end{array}=(-1).\begin{array}{|crl|}3 & -5 \\1 & 4\end{array}\)

- Si la fila de un determinante puede descomponerse en suma o resta de dos términos, el determinante se puede escribir como suma o resta de dos determinantes

- Si un determinante tiene dos filas (o columnas) proporcionales, el determinante es cero

Cómo calcular determinantes

-Si la matriz es de orden uno, \(|a_{11}| = a_{11}\)

Ejemplo: \(|-7| = -7\)

-Si la matriz es de orden dos, \(\begin{array}{|crl|}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)

Ejemplo: \(\begin{array}{|crl|}1 & 2 \\3 & 0\end{array}=1.0-2.3=-6\)

- Si la matriz es de orden tres se utiliza el Método de Sarrus:

\(\begin{array}{|crl|}a_{11} & a_{12}& a_{13} \\a_{21} & a_{22}& a_{23}\\a_{31} & a_{32}& a_{33}\end{array}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}\)

Ejemplo:

\(\begin{array}{|crl|}1 & 2& -1 \\-2 & 5& 6\\3 & 0& -3\end{array}=1.5.(-3)+2.6.3+(-1).(-2).0-3.5.(-1)-0.6.1-(-3).(-2).2=24\)

- Si el orden de la matriz es mayor de tres, el objetivo para calcular su determinante es:

Conseguir que una fila (o una columna) quede con todos sus elementos cero excepto uno. El determinante será el adjunto correspondiente al elemento que ha quedado no nulo, es decir, la multiplicación del elemento (siendo \((1)\) o \((-1)\) dicho elemento dependiendo de su posición) por el menor complementario a dicho elemento (ver la teoría sobre menores)

Se repite dicho argumento hasta que el menor restante sea de dimensión \(3\times 3\) y sea posible utilizar la Regla de Sarrus

Ejemplo:

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & 0 & 0 & 0\\1 & -1 & 1 & 1\\-2 & 4 & -3& 0\\3 & 4 & 2& 1\end{array}=(-1)^{1+1}.\begin{array}{|crl|}-1 & 1 & 1\\-4 & -3& 0\\4 & 2& 1\end{array}=1.\begin{array}{|crl|}-1 & 1 & 1\\-4 & -3& 0\\4 & 2& 1\end{array}=11\)

 

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