Ejercicios de Ecuaciones II

Ejercicio 12: Halla las soluciones reales de \(\sqrt{x-1}+\sqrt{x}=2\)

\(\sqrt{x-1}^2 =(2-\sqrt{x})^2\Rightarrow\)

\(x-1=4+(\sqrt{x})^2 -4\sqrt{x}\)

Agrupando términos
\(x-x-1-4= -4\sqrt{x}\Rightarrow\)

\(-5= -4\sqrt{x}\)

Despejando la x,

\((-5)^2= (-4\sqrt{x})^2\)

De lo que queda,

\(25=16x \Rightarrow \boxed{x= \frac{25}{16}}\)

Ejercicio 13: Hallar las soluciones reales de \(\sqrt{x+7}+\sqrt{x}=7\)

\(\sqrt{x+7}=7-\sqrt{x}\Rightarrow\)

Elevando al cuadrado en los dos lados de la ecuación,

\((\sqrt{x+7})^2=(7-\sqrt{x})^2\Rightarrow\)

\(\sqrt{x+7}=7-\sqrt{x}\Rightarrow\)

Elevando al cuadrado en los dos lados de la ecuación,

\((\sqrt{x+7})^2=(7-\sqrt{x})^2\Rightarrow\)

\(x+7=49+x-14\sqrt{x}\Rightarrow\)

Agrupando las x y elevando al cuadrado en el último paso se obtiene el resultado,

\(-42=-14\sqrt{x}\Rightarrow 3=\sqrt{x}\Rightarrow\boxed{x=9}\)

Ejercicio 14: Hallar las soluciones reales de \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1\)

Pasando una raíz al otro lado de la igualdad,

\(\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-1}\),

elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación, se obtiene

\(x+1=1+(x-1)+2\sqrt{x-1}\Rightarrow 1=2\sqrt{x-1}\),

elevando de nuevo al cuadrado a ambos lados de la igualdad,

\( \frac{1}{2}=\sqrt{x-1}\Rightarrow\boxed{x=\frac{5}{4}}\)

Ejercicio 15: Hallar las soluciones de \(3^{x^2+5x-4}. 9^{2x+3}=27^{x-1}\)

Convirtiendo cada factor de la ecuación en una potencia de 3,

\(3^{x^2+5x-4}3^{2(2x+3)}=3^{3(x-1)}\),

sumando los exponentes,

\(3^{x^2+5x-4+2(2x+3)}=3^{3(x-1)}\).

Igualando ahora los exponentes,

\(x^2+5x-4+2(2x+3)=3(x-1)\Rightarrow\)
\(x^2+6x+5=0\)

Calculando las soluciones del polinomio (ver cómo resolver polinomios),

\(x=\frac{-6\pm\sqrt{36-20}}{4}=\frac{-6\pm 4}{2}\Rightarrow\boxed{x=-1,x=-5}\)

Ejercicio 16: Calcular \(2. 3^{2x-1}+3^{x+1}-1=0\)

Reescribiendo la ecuación,

\(\frac{2. 3^{2x}}{3}+3. 3^{x}-1=0\),

multiplicando por 3 a todos los términos,

\(2. 3^{2x}+9. 3^{x}-3=0\).

Haciendo el cambio de variables \(y=3^{x}\),

\(2y^2+9y-3=0\),

resolviendo el polinomio de segundo grado (ver cómo resolver polinomios), se obtiene

\(y=0,3117376914, y=-4,811737691\).

Deshaciendo el cambio de variable,

\(y=0,3117376914=3^{x}\),

tomando logaritmos a ambos lados de la igualdad,
\(\log 0,3117376914=\log 3^{x}\),

usando las propiedades de los logaritmos (ver propiedades de los logaritmos) y despejando la x,

\(x\log 3= \log 0,3117376914\Rightarrow x=\frac{\log 0,3117376914}{\log 3}\Rightarrow\boxed{x=-1,0600968632}\)

El caso \(y=-4,811737691\) no tiene solución ya que no es posible que exista una x tal que \(-4,811737691=3^{x}\)

Ejercicio 17: Hallar las soluciones de \(\log (x^2+6x+7)=1+\log(x+1)\)

Se escriben todos los términos como logaritmos,

\(\log (x^2+6x+7)=\log 10+\log(x+1)\),

utilizando las propiedades de los logaritmos (ver propiedades de los logaritmos) se agrupan términos,

\(\log (x^2+6x+7)=\log 10(x+1)\Rightarrow (x^2+6x+7)=10(x+1)\).

Resolviendo el polinomio resultante (ver cómo resolver polinomios) se obtiene el resultado,

\(x^2-4x-3=0\Rightarrow\boxed{x=3,x=1}\)

Ejercicio 18: Hallar las soluciones reales de \(\log(x^2+2699)=2+\log(x+2)\)

Se escriben todos los términos como logaritmos,

\(\log(x^2+2699)=\log 100+\log(x+2)\),

aplicando una propiedad de los logaritmos (ver propiedades de los logaritmos),

\(\log(x^2+2699)=\log 100(x+2)\),

quitando logaritmos (tomando exponenciales a ambos lados de la ecuación) se obtiene un polinomio (ver cómo resolver polinomios),

\(x^2+2699=100(x+2)\Rightarrow x^2-100x+2499=0\Rightarrow\boxed{x=51, x=49}\)

 

Ver ejercicios de repaso de ecuaciones de primer grado
                                                                                 
Ver ejercicios de repaso de ecuaciones de segundo grado