Ejercicios de ecuaciones de 1er grado II

\[\]Ejercicio 4: Dos ciudades distan entre sí \(400\) km. Un coche sale de la ciudad \(A\) hacia \(B\) a \(100\) km./h. y otro de \(B\) a \(A\) a \(150\) km./h., si los dos coches salieron a la vez, ¿a qué distancia de \(A\) se juntarán? ¿Cuánto tiempo tardarán desde que salen hasta que se juntan?

Llamando \(x\) la distancia de la ciudad \(A\) al punto en el que se juntan los coches (es decir, lo que se está pidiendo hallar), \(400-x\) será la distancia de la ciudad \(B\) al punto donde se encuentran los coches

La velocidad es igual a espacio partido por tiempo, \(v=\frac et\), de forma que, despejando, el tiempo será \(t=\frac ev\), el tiempo que se pide en el ejercicio será \(t_A=\frac{x}{100}\), ya que \(100\) es la velocidad a la que va el coche que sale de \(A\) y \(t_B=\frac{400-x}{150}\) será el tiempo visto desde la ciudad \(B\)

Por lo tanto, como ambos coches salen a la vez, \(t_A=t_B\) y \(\frac{x}{100}=\frac{400-x}{150}\)

Es decir, recordando cómo resolver ecuaciones de primer grado se obtiene \(150x=40000-100x\Rightarrow 250x=40000\Rightarrow x=160\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{a } 160 \hbox{ km. de la ciudad A se encuentran los coches}} \)

Para calcular el tiempo que tardarán en encontrarse y sabiendo que \(x=160\) se despeja \(t_A\) de la ecuación \(t_A=\frac{x}{100}\)

Es decir; \(\bbox[yellow]{\hbox{Los coches se encuentran a las }1,6 \hbox{ horas de salir}}\)

\[\]Ejercicio 5: Preguntando un padre por la edad de su hijo, contesta: «Si del doble de los años que tiene se le quitan el triple de los que tenía hace \(6\) años se tendrá su edad actual». Hallar la edad del hijo en el momento actual

Llamando \(x\) a la edad actual del hijo, para hallar el resultado se debe resolver la siguiente ecuación de primer grado, recordar cómo resolver ecuaciones de primer grado

\(2x-3(x-6)=x\Rightarrow 2x-3x+18=x\Rightarrow -2x=-18\Rightarrow x=9\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{El hijo tiene }9}\)

\[\] Ejercicio 6: Dos ciudades distan \(1000\) km. Un tren sale de la ciudad \(A\) a \(B\) a \(200\) km./h. y una hora más tarde sale de \(B\) un tren a \(A\) a \(250\) km./h., si los dos coches salieron a la vez, ¿a qué distancia de \(A\) se juntarán?

Considerando \(x\) a la distancia de la ciudad \(A\) al punto en el que se juntan los trenes, entonces \(1000-x\) será la distancia de la ciudad \(B\) al punto donde se encuentran

La velocidad es igual a espacio partido por tiempo, \(v=\frac et\), así que el tiempo será \(t=\frac ev\), en el ejercicio será \(t_A=\frac{x}{200}\) y \(t_B=\frac{1000-x}{250}\) será el tiempo visto desde la ciudad \(B\)

Por lo tanto, como el tren que sale de \(B\) sale una hora más tarde que el que sale de \(A\), se tendrá: \(\frac{x}{200}=\frac{1000-x}{250}\)

Consultando la teoría sobre cómo resolver ecuaciones de primer grado se obtiene \(250x=200000-200x+50000\Rightarrow 250x+200x=200000+50000\Rightarrow 450x=25000\Rightarrow x=\frac{250000}{450}\Rightarrow x=555,55\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{a } 555,55 \hbox{ km. de la ciudad A se encuentran los trenes}} \)

\[\] Ejercicio 7: Un padre tiene \(37\) años y las edades de sus tres hijos suman \(25\) años. ¿Dentro de cuántos años las edades de los hijos sumarán como la edad del padre?

Dentro de \(x\) años el padre tendrá \(37+x\) años y las edades de sus hijos sumarán \(25+3x\)

Para hallar el resultado se deben igualar las edades que tendrán dentro \(x\) años el padre y los hijos, es decir, todo se resume en resolver la siguiente ecuación de primer grado, recordar cómo resolver ecuaciones de primer grado

\(37+x=25+3x\Rightarrow x-3x=25-37\Rightarrow -2x=-12\Rightarrow x=6\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{Dentro de }6}\)

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