\[\]Ejercicio 1: Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado
a) \(x^2+6x-10=0\)
b) \(x^2-7x-18=0\)
c) \(x^2+5x+6=0\)
d) \(x^2-10x+1=0\)
Para obtener el resultado, recordar la teoría sobre cómo resolver ecuaciones de segundo grado
a) \(x^2+6x-10=0\Rightarrow x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot(-10)}}{2}\Rightarrow x=\bbox[yellow]{\frac{-6\pm\sqrt{76}}{2}}\)
b) \(x^2-7x-18=0\Rightarrow x=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot (-18)}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{49-(-72)}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{121}}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=9,x=-2}\)
c) \(x^2+5x+6=0\Rightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=-2,x=-3}\)
d) \(x^2-10x+1=0\Rightarrow x=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{100-4}}{2}=\bbox[yellow]{\frac{10\pm\sqrt{96}}{2}}\)
Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas
1) \(x^4+10x^2+9=0\)
2) \(x^4-26x^2+25=0\)
Consultando la teoría sobre ecuaciones bicuadradas, se obtiene el resultado
1) \(x^4+10x^2+9=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2-10y+9=0\Rightarrow y=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{100-36}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{10\pm 8}{2}=y=9, y=1\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\pm 3, x=\pm 1}\)
2) \(x^4-26x^2+25=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2-26y+25=0\Rightarrow y=\frac{-(-26)\pm\sqrt{(-26)^2-4\cdot 1\cdot 25}}{2}=\frac{26\pm\sqrt{676-100}}{2}=\frac{26\pm\sqrt{576}}{2}=\frac{26\pm 24}{2}\Rightarrow y=1, y=25\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\pm 1, x=\pm 5}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver las siguientes ecuaciones utilizando el hecho de que si el producto de dos o más factores es cero, al menos uno de ellos será cero
a) \((x-1)(x-2)=0\)
b) \((x-5)(x+11)=0\)
c) \((2x+6)x=0\)
d) \((2x-5)(7x-3)=0\)
e) \((x-\frac 34)(8x+42)=0\)
Como al menos uno de los dos factores de los productos tiene que ser cero, se igualan a cero cada uno de los factores y se resuelve la ecuación de cada uno de ellos, ver cómo resolver ecuaciones
a) \((x-1)(x-2)=0\Rightarrow x-1=0, x-2=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=1,x=2}\)
b) \((x-5)(x+11)=0\Rightarrow x-5=0, x+11=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=5,x=-11}\)
c) \((2x+6)x=0\Rightarrow 2x+6=0, x=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=-3, x=0}\)
d) \((2x-5)(7x-3)=0\Rightarrow 2x-5=0, 7x-3=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\frac 52, x=\frac 37}\)
e) \((x-\frac 34)(8x+42)=0\Rightarrow x.\frac 34=0, 8x+42=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\frac 34, x=-\frac{42}{8}=-\frac{21}{4}}\)