Ejercicios de ecuaciones de 2º grado III

Ejercicio 1: Resolver siempre que sea posible las siguientes ecuaciones de segundo grado

a) \(x^2-8x+12=0\)

b) \(4x^2-1=0\)

c) \(2x^2-x=0\)

d) \(x^2-5x+8=0\)

e) \(x^2+\dfrac 14=x\)

f) \(\dfrac{3x-1}{5}-3x^2+\dfrac 65=2-(x-1)^2\)

Consultar la teoría sobre cómo resolver ecuaciones de segundo grado

a) \(x^2-8x+12=0\Rightarrow x=\dfrac{8\pm\sqrt{64-4\cdot 1\cdot 12}}{2}=\dfrac{8\pm\sqrt{64-48}}{2}=\dfrac{8\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{8\pm 4}{2}\Rightarrow\boxed{x=6,x=2}\)

b) \(4x^2-1=0\Rightarrow x^2=\dfrac 14\Rightarrow \boxed{x=\pm\dfrac 12}\)

c) \(2x^2-x=0\Rightarrow x(2x-1)=0\Rightarrow\boxed{x=0,x=\dfrac 12}\)

d) \(x^2-5x+8=0\Rightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-4\cdot 1\cdot 8}}{2}=\dfrac{5\pm\sqrt{-7}}{2}\Rightarrow\boxed{\hbox{No se puede resolver}}\)

e) \(x^2+\dfrac 14=x\Rightarrow x^2-x+\dfrac 14=0\Rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot\frac 14}}{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1-1}}{2}=\dfrac{1\pm 0}{2}\Rightarrow\boxed{x=0}\)

f) \(\dfrac{3x-1}{5}-3x^2+\dfrac 65=2-(x-1)^2\Rightarrow \dfrac{3x-1}{5}-\dfrac{15x^2}{5}+\dfrac 65=\dfrac{10}{5}-\dfrac{5(x-1)^2}{5}\Rightarrow 3x-1-15x^2+6=10-(5(x^2+1-2x))\Rightarrow 3x-15x^2+5x^2-10x=10-5-6+1\Rightarrow -10x^2-7x=0\Rightarrow x(-10x-7)=0\Rightarrow\boxed{x=0,x=-\dfrac{7}{10}}\)

 

Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas

a) \(x^4-8x^2-9=0\)

b) \(x^4-29x^2+100=0\)

c) \(x^4+3x^2-10=0\)

Primeramente, para poder hacer el ejercicio, es importante recordar cómo se resuelven las ecuaciones bicuadradas

a) \(x^4-8x^2-9=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2-8y-9=0\Rightarrow y=\dfrac{8\pm\sqrt{64-4\cdot 1\cdot (-9)}}{2}=\dfrac{8\pm\sqrt{64+36}}{2}=\dfrac{8\pm\sqrt{100}}{2}=\dfrac{8\pm\sqrt{100}}{2}\Rightarrow y=9,y=-1\Rightarrow\boxed{x=\pm 3}\)

b) \(x^4-29x^2+100=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2-29y+100=0\Rightarrow y=\dfrac{29\pm\sqrt{841-4\cdot 1\cdot 100}}{2}=\dfrac{29\pm\sqrt{441}}{2}=\dfrac{29\pm 21}{2}\Rightarrow y=25, y= 4\Rightarrow\boxed{x=\pm 5, x=\pm 2}\)

c) \(x^4+3x^2-10=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2+3y-10=0\Rightarrow y=\dfrac{-3\pm\sqrt{9-4\cdot 1\cdot (-10)}}{2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{49}}{2}=\dfrac{-3\pm 7}{2}\Rightarrow y=-5, y=2\Rightarrow\boxed{x=\pm\sqrt{2}}\)

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