\[\]Ejercicio 1: Resolver siempre que sea posible las siguientes ecuaciones de segundo grado
a) \(x^2-8x+12=0\)
b) \(4x^2-1=0\)
c) \(2x^2-x=0\)
d) \(x^2-5x+8=0\)
e) \(x^2+\frac 14=x\)
f) \(\frac{3x-1}{5}-3x^2+\frac 65=2-(x-1)^2\)
Consultar la teoría sobre cómo resolver ecuaciones de segundo grado
a) \(x^2-8x+12=0\Rightarrow x=\frac{8\pm\sqrt{64-4\cdot 1\cdot 12}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{8\pm 4}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=6,x=2}\)
b) \(4x^2-1=0\Rightarrow x^2=\frac 14\Rightarrow \bbox[yellow]{x=\pm\frac 12}\)
c) \(2x^2-x=0\Rightarrow x(2x-1)=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=0,x=\frac 12}\)
d) \(x^2-5x+8=0\Rightarrow x=\frac{5\pm\sqrt{25-4\cdot 1\cdot 8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{-7}}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{No se puede resolver}}\)
e) \(x^2+\frac 14=x\Rightarrow x^2-x+\frac 14=0\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot\frac 14}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1-1}}{2}=\frac{1\pm 0}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=0}\)
f) \(\frac{3x-1}{5}-3x^2+\frac 65=2-(x-1)^2\Rightarrow \frac{3x-1}{5}-\frac{15x^2}{5}+\frac 65=\frac{10}{5}-\frac{5(x-1)^2}{5}\Rightarrow 3x-1-15x^2+6=10-(5(x^2+1-2x))\Rightarrow 3x-15x^2+5x^2-10x=10-5-6+1\Rightarrow -10x^2-7x=0\Rightarrow x(-10x-7)=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=0,x=-\frac{7}{10}}\)
Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas
a) \(x^4-8x^2-9=0\)
b) \(x^4-29x^2+100=0\)
c) \(x^4+3x^2-10=0\)
Primeramente, para poder hacer el ejercicio, es importante recordar cómo se resuelven las ecuaciones bicuadradas
a) \(x^4-8x^2-9=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2-8y-9=0\Rightarrow y=\frac{8\pm\sqrt{64-4\cdot 1\cdot (-9)}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{64+36}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{100}}{2}\Rightarrow y=9,y=-1\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\pm 3}\)
b) \(x^4-29x^2+100=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2-29y+100=0\Rightarrow y=\frac{29\pm\sqrt{841-4\cdot 1\cdot 100}}{2}=\frac{29\pm\sqrt{441}}{2}=\frac{29\pm 21}{2}\Rightarrow y=25, y= 4\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\pm 5, x=\pm 2}\)
c) \(x^4+3x^2-10=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2+3y-10=0\Rightarrow y=\frac{-3\pm\sqrt{9-4\cdot 1\cdot (-10)}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-3\pm 7}{2}\Rightarrow y=-5, y=2\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\pm\sqrt{2}}\)