Ejercicios de ecuaciones logarítmicas

Ejercicio 1: Calcular los siguientes logaritmos
a) \(\log_2 8=x\)
b) \(\log_3 9=x\)
c) \(\log_10 10=x\)
d) \(\log_5 25=x\)
e) \(\log_2 32=x\)
f) \(\log_5 \sqrt{5}=x\)

Para poder hacer el ejercicio, recordar la definición y propiedades de los logaritmos

a) \(\log_2 8=x\Rightarrow 2^x=8\Rightarrow\boxed{x=3}\)

b) \(\log_3 9=x\Rightarrow 3^x=9\Rightarrow\boxed{x=2}\)

c) \(\log_10 10=x\Rightarrow 10^x=10\Rightarrow\boxed{x=1}\)

d) \(\log_2 32=x\Rightarrow 2^x=32\Rightarrow\boxed{x=5}\)

e) \(\log_5 \sqrt{5}=x\Rightarrow 5^x=\sqrt{5}\Rightarrow\boxed{x=\dfrac 12}\)

 

Ejercicio 2: Calcular los siguientes logaritmos con base fraccionaria
a) \(\log_{\frac 13} 27=x\)
b) \(\log_{\frac 13} \frac{1}{81}=x\)
c) \(\log_{\frac 13} \sqrt{243}=x\)
d) \(\log_{\frac 13} \sqrt[3]{2187}=x\)

Consultando la definición y propiedades de los logaritmos, se tiene

a) \(\log_{\frac 13} 27=x\Rightarrow (\frac 13)^x=27\Rightarrow\boxed{x=-3}\)

b) \(\log_{\frac 13} \frac{1}{81}=x\Rightarrow (\frac 13)^x=\frac{1}{81}\Rightarrow\boxed{x=4}\)

c) \(\log_{\frac 13} \sqrt{243}=x\Rightarrow (\frac 13)^x=\sqrt{243}=243^{\frac 12}=3^{\frac 52}\Rightarrow\boxed{x=-\frac 52}\)

d) \(\log_{\frac 13} \sqrt[3]{2187}=x\Rightarrow (\frac 13)^x=\sqrt[3]{2187}=2187^{\frac 13}=3^{\frac 73}\Rightarrow\boxed{x=-\frac 73}\)

Ejercicio 3: Tomar logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolarlas

a) \(P=x^2\cdot y^3\)

b) \(B=\dfrac{x^3\cdot y^2}{z^2}\)
c) \(R=\dfrac{3x^5\cdot y^7}{2z}\)

El ejercicio se resuelve tomando logaritmos a ambos lados del igual en las expresiones, recordar las propiedades de los logaritmos

a) \(P=x^2\cdot y^3\Rightarrow\log P=\log(x^2\cdot y^3)\Rightarrow\log P=\log x^2+\log y^3\Rightarrow\boxed{\log P= 2\log x+3\log y}\)

b) \(B=\dfrac{x^3\cdot y^2}{z^2}\Rightarrow\log B=\log \dfrac{x^3\cdot y^2}{z^2}\Rightarrow\log B=\log(x^3\cdot y^2)-\log z^2\Rightarrow\log B= \log x^3+\log y^2-\log z^2\Rightarrow\boxed{\log B=3\log x+2\log y-2\log z}\)

c) \(R=\dfrac{3x^5\cdot y^7}{2z}\Rightarrow\log R=\log (3x^5\cdot y^7)-\log 2z\Rightarrow \log R=\log 3x^5+\log y^7-\log 2z\Rightarrow\boxed{\log R=\log 3+5\log x+7\log y-\log 2+\log z}\)

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