\[\] Ejercicio 6: La vida de las pilas de botón sigue una distribución normal de media \(1000\) horas y desviación típica \(60\) horas. Se toma una muestra al azar de \(225\) pilas y se calcula su media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media sea menor que \(996\) horas?
La distribución de \(X\) sigue una distribución \(N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=N(1000,\frac{60}{\sqrt{225}}=4)\), luego hace falta normalizarla para poder utilizar la tabla de la normal, ver estadística
Lo que pide el enunciado es \(P(X<996)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{996-1000}{4})=P(z<-1)=1-P(z<1)=1-0,8413=\bbox[yellow]{0,1587}\)
\[\] Ejercicio 7: Se ha realizado una encuesta aleatoria entre \(130\) mujeres pertenecientes a una red social, de las cuales \(85\) eran mayores de \(37\) años, sobre el número de horas que estaban diariamente en internet, obteniéndose una media de \(3,4\) horas
1. Si la desviación típica es de \(1,1\) horas, obtener un intervalo de confianza al \(98\)% para la media del número de horas que están en internet diariamente las mujeres de esa red social
2. Obtener un intervalo de confianza, al \(90\)% para la proporción de mujeres mayores de \(37\) años entre las mujeres de esa red social
1. Viendo la teoría de estadística y la tabla de la normal, el IC sería
\(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,33\) y \(IC=(3,4-2,33\frac{1,1}{\sqrt{130}},3,4+2,33\frac{1,1}{\sqrt{130}})=\bbox[yellow]{(3,175, 3,625)}\)
2. El IC sería para una proporción \(p_r=\frac{85}{130}=0,654,q_r=1-p_r=0,346\)
\((p_r-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p_rq_r}{n}},p_r+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p_rq_r}{n}})=\bbox[yellow]{(0,6123,0,6957)}\)
\[\] Ejercicio 8: Hace \(10\) años se hizo un estudio y se concluyó que, como máximo, el \(40\)% de los estudiantes universitarios era fumador. Para ver si actualmente se mantiene la misma conclusión, se ha tomado una muestra de \(78\) estudiantes entre los que \(38\) son fumadores
1. Con un nivel de significación del \(10\)%, ¿se acepta que el porcentaje de fumadores entre los universitarios sea menor o igual que el \(40\)%?
2. Se amplió la encuesta hasta \(120\) personas y se obtuvo que \(54\) eran fumadores. Con un nivel de significación del \(5\)%, ¿se tomaría la misma decisión que en el apartado anterior?
1. El ejercicio pide realizar un test unilateral para una proporción, ver estadística
\(H_0:p\leq 0,4\)
\(H_1: p>0,4\)
La zona de aceptación, es decir, el IC sería para el dato \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,28\),
\((-\infty,p+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{pq}{n}})=(-\infty,0,4+1,28\sqrt{\frac{0,4.0,6}{78}})=(-\infty, 0,47)\)
Como \(p_r=\frac{38}{78}=0,487\) no pertenece al intervalo, \(\bbox[yellow]{\hbox{no se acepta}}\) la hipótesis de que el porcentaje de fumadores sea menor o igual del \(40\)% con un nivel de significación del \(10\)%
2. El Ic tendría en este caso el dato \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,645\),
\((-\infty,p+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{pq}{n}})=(-\infty,0,4+1,645\sqrt{\frac{0,4.0,6}{78}})=(-\infty, 0,4735)\)
Como \(p_r=\frac{54}{120}=0,45\) sí pertenece al intervalo, \(\bbox[yellow]{\hbox{se acepta}}\) la hipótesis de que el porcentaje de fumadores sea menor o igual del \(40\)% con un nivel de significación del \(5\)%
\[\] Ejercicio 9: En una tienda online se sabe que el \(35\)% de los clientes pagan por transferencia bancaria
1. Si en una sección de la tienda han pagado \(120\) clientes, ¿cuál será el número esperado de clientes que no han pagado haciendo una transferencia bancaria?
2. Si en otra sección de la tienda han pagado \(200\) clientes, ¿cuál será la probabilidad de que hayan pagado mediante transferencia entre \(60\) y \(85\) clientes?
3. Si en otra sección han pagado \(400\) clientes, ¿cuál será la probabilidad de que al menos \(260\) no lo hayan hecho a través de una transferencia bancaria?
1. Sea \(\mu\) la media, \(p\) la probabilidad de pagar por transferencia bancaria y \(n\) el número de clientes, entonces
\(\mu=np=120.0,65=78\)
Es decir, \(boxed{78\hbox{ clientes no pagan por transferencia bancaria}}\)
2. La media y la desviación típica en este segundo caso serán, ver estadística,
\(\mu=np=200.0,35=70,\sigma=npq=200.0,65.0,35=6,74\)
Luego, la variable \(X\) se mueve como una normal \(N(70,6,74)\)
El enunciado pide hallar \(P(60<X<85)\)
Para poder utilizar la tabla de la normal, se debe primeramente normalizar la variable \(X\), ver teoría de estadística, de esta forma
\(\bar{X}=\frac{X-\mu}{\sigma}\) y
\(P(60<X<85)=P(\frac{60-70}{6,74}<z<\frac{85-70}{6,74})=P(-1,56<z<2,3)=P(z<2,3)+P(z<1,56)-1=\bbox[yellow]{0,93}\)
3. En este último caso, \(\mu=np=400.0,35=260,\sigma=npq=400.0,65.0,35=9,54\Rightarrow N(70, 6,74)\)
Lo que pide el enunciado es \(P(X\geq 260)=P(z\geq\frac{259,5-260}{9,54})=P(z\geq -0,05)=P(z<0,05)=\bbox[yellow]{0,5199}\)
\[\] Ejercicio 10: En una máquina de barras de madera se ha roto el indicador que mide la longitud de las barras que fabrica, se sabe que la desviación típica de la longitud de las barras es de \(0,2\) cm. Un becario cree que la máquina estaba regulada para fabricar barras de una longitud igual a \(5\) cm
1. Si se toma una muestra de \(16\) barras y se obtiene una media de \(5,12\)cm con un nivel de significación del \(5\)%, ¿se acepta la hipótesis del becario frente a la hipótesis de que la máquina estaba regulada para fabricar barras de una longitud mayor?
2. Si la media muestral del apartado anterior se hubiese obtenido de una muestra de tamaño \(36\) y el nivel de significación fuera del \(1\)%, ¿se aceptaría la hipótesis del becario frente a la hipótesis de que la máquina está regulada para fabricar barras de una longitud mayor?
1. Se trata de un contraste de hipótesis unilateral
\(H_0:\mu\leq 5\)
\(H_1:\mu>5\)
La zona de aceptación (IC) sería con el dato \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,645\),
\(IC=(-\infty,\mu+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=(-\infty,5+1,645\frac{0,2}{\sqrt{16}})=(-\infty,5,082)\)
Como \(5,12\) no pertenece al intervalo, \(\bbox[yellow]{\hbox{no se acepta}}\) la hipótesis del becario con un nivel de significación del \(5\)%
2. En el segundo caso el dato a tener en cuenta es \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,33\),
\(IC=(-\infty,\mu+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=(-\infty,5+2,33\frac{0,2}{\sqrt{36}})=(-\infty,5,078)\)
Como \(5,12\) no pertenece al intervalo, \(\bbox[yellow]{\hbox{no se acepta}}\) la hipótesis del becario con un nivel de significación del \(1\)%
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