Ejercicio : (Junio 2010 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Se supone que el peso en kilos de los rollos de cable eléctrico producidos por una cierta empresa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(0,5\) Kg. Una muestra aleatoria de \(9\) rollos ha dado un peso medio de \(10,3\) Kg
a) Determínese un intervalo de confianza al \(90\)%para el peso medio de los rollos de cable que produce dicha empresa
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual que \(0,2\) Kg con probabilidad igual a \(0,98\)?
a) Se define la variable aleatoria \(x\) como el peso en kilos de un rollo de cable eléctrico con distribución \(N(\mu, \sigma)\)
Las medias de tamaño nueve siguen una distribución \(\bar{x}:N(\mu,\frac{0,5}{\sqrt{9}})\)
El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(90\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,90\Rightarrow \alpha=0,10\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,65\)
Por lo tanto,
\(IC=(10,3-1,65\frac{0,5}{\sqrt{9}},10,3+1,65\frac{0,5}{\sqrt{9}})=\bbox[yellow]{(10,02, 10,57)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(98\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,98\Rightarrow\alpha=0,02\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,33\), por lo tanto, \(n>(2,33\frac{0,5}{0,2})^2=33,93\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 34}\)
Ejercicio : (Junio 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se supone que el precio de un kilo de patatas en una cierta región se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(10\) centímetros de euro. Una muestra aleatoria simple de tamaño \(256\) proporciona un precio medio del kilo de patatas a \(19\) céntimos de euro
a) Determínese un intervalo de confianza al \(95\)% para el precio medio de un kilo de patatas en la región
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse?
a) Se define la variable aleatoria \(x\) como el peso en kilos de un rollo de cable eléctrico con distribución \(N(\mu, \sigma)\)
Las medias de tamaño nueve siguen una distribución \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{252}})\)
El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(19-1,96\frac{10}{\sqrt{256}},19+1,96\frac{10}{\sqrt{256}})=\bbox[yellow]{(17,8, 20,2)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
El error máximo se obtiene a partir de la amplitud del intervalo, ver estadística, en este caso
\(E=\frac{|17,8-20,2|}{2}=1,2\)
Al ser \(99\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,99\Rightarrow\alpha=0,01\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,58\), por lo tanto, \(n>(2,58\frac{10}{1,2})^2=462,25\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 463}\)