Estadística en Selectividad 2010 II

Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(320\). Se toma una muestra simple de \(36\) elementos

a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media de la distribución normal sea mayor o igual que \(50\)

b) Determínese un intervalo de confianza del \(95\)% para la media de la distribución normal, si la media muestral es igual a \(4820\)

a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable dada, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(\mu, \sigma)\), ver estadística

Para muestras de tamaño \(36\) elementos, se tendrán las medias muestrales que seguirán una distribución Normal: \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{36}})\)

El ejercicio pide hallar \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 50)\)

Es decir, \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 50)=1-P(|\bar{x}-\mu|< 50)=1-P(-50<\bar{x}-\mu< 50)=1-P(\mu-50<\bar{x}< \mu +50)\)

Para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(\bar{x}\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)

De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{36}}}\) y

\(1-P(\mu-50<\bar{x}< \mu +50)=1-P(\frac{\mu-50-\mu}{\frac{320}{36}}<z<\frac{\mu+50-\mu}{\frac{320}{36}})=1-P(-0,94<z<0,94)=1-(P(z<0,94)-P(z\leq -0,94))=1-(P(z<0,94)-P(z\geq 0,94))=1-(P(z<0,94)-(1-P(z< 0,94))\)

Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(|\bar{x}-\mu|\geq 50)=0,3472}\)

b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(4820-1,96\frac{320}{\sqrt{36}},4820+1,96\frac{320}{\sqrt{36}})=\bbox[yellow]{(4715,5; 4924,5)}\)

Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Para estudiar la media de una población con distribución normal de desviación típica igual a \(5\), se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño \(100\), con la que se ha obtenido el intervalo de confianza \((173,42; 176,56)\) para dicha población

a) Calcúlese la media de la muestra seleccionada

b) Calcúlese el nivel de confianza del intervalo obtenido

a) La media en este caso puede hallarse con la amplitud del intervalo de confianza dado en el enunciado, ver teoría de estadística,

\(\bar{x}=\frac{173,42+176,56}{2}=\bbox[yellow]{174,99}\)

b) El nivel de confianza se puede calcular a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=\frac{E\sqrt{n}}{\sigma}\), ver teoría de estadística

Por lo tanto, \(z_{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1,57\sqrt{100}}{5}=3,14\)

Consultando la tabla de la normal, se obtiene \(1-\frac{\alpha}{2}=0,9992\Rightarrow\alpha=2(1-0,9992)=0,0016\)

De esta manera, el nivel de confianza pedido será \(1-\alpha=1-0,0016=0,9984\Rightarrow\bbox[yellow]{99,84\hbox{%}}\)

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