Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Se supone que la presión diastólica en una determinada población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(98\)mm y desviación típica \(15\) mm. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(9\)
a) Calcúlese la probabilidad de que la media muestral sea mayor que \(100\) mm
b) Si se sabe que la media muestral es mayor que \(100\) mm, ¿cuál es la probabilidad de que sea también menor que \(104\) mm?
a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable que mide la presión diastólica, ésta seguirá una normal de la forma \(x\equiv N(98, 15)\), ver estadística
Las medias de muestras aleatorias de nueve elementos también seguirá una distribución Normal: \(\bar{x}:N(98,\frac{15}{\sqrt{5}})=N(98,5)\)
El ejercicio pide hallar la probabilidad de que la media sea superior a \(100\), es decir, \(P(\bar{x}>100)\), para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(X\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)
De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma}\) y
\(P(\bar{x}>100)=P(z>\frac{100-9,8}{5})=P(z>0,40)=1-P(z<0,40)\)
Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(\bar{x}>100)=0,3446}\)
b) Se pide hallar una probabilidad condicionada, ver teoría sobre la probabilidad condicionada
\(P(\bar{x}<104|\bar{x}>100)=\frac{P(100<\bar{x}<104)}{P(\bar{x}>100)}\)
Por una parte y normalizando la variable se tiene, ver cómo tipificar una variable aleatoria y consultar la tabla de la normal
\(P(100<\bar{x}<104)=P(\frac{100-98}{5}<\bar{x}<\frac{104-98}{5})\)
Por lo tanto, \(P(0,40<z<1,20)=0,8849-0,6554=0,2292\)
Del primer apartado se sabe que \(P(\bar{x}>100)=0,3446\), luego sustituyendo ambos valores en la fórmula para la probabilidad condicionada, se tiene
\(P(\bar{x}<104|\bar{x}>100)=\frac{0,2292}{0,3446}=\bbox[yellow]{0,6551}\)
Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Para determinar el coeficiente de inteligencia \(\theta\) de una persona se le hace contestar un conjunto de tests y se obtiene la media de sus puntuaciones. Se supone que la calificación de cada test se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\theta\) y desviación típica \(10\)
a) Para una muestra aleatoria simple de \(9\) tests, se ha obtenido una media muestral igual a \(110\). Determínese un intervalo de confianza para al \(95\)% de confianza
b) ¿Cuál es el número mínimo de tests que debería realizar la persona para que el valor absoluto del error en la estimación de su coeficiente de inteligencia sea menor o igual que \(5\) con el mismo nivel de confianza?
a) Se define la variable \(x\equiv\) puntuación obtenida en el test. Se trata de una variable que sigue una distribución Normal, \(N(\theta,10)\)
Para muestras de nueve elementos (nueve tests), las medias de los resultados también seguirán una Normal: \(N(\theta,\frac{10}{3})\)
El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(110-1,96\frac{10}{\sqrt{9}},110+1,96\frac{10}{\sqrt{9}})=\bbox[yellow]{(103,5, 116,5)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser el mismo nivel de confianza que el apartado anterior, se tiene que \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\), por lo tanto, \(n>(1,96\frac{10}{5})^2=96,04\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 97}\)