Estadística en Selectividad 2012 II

Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

La duración en kilómetros de los neumáticos de una cierta marca se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) desconocida y desviación típica igual a \(3000\) kilómetros

a) Se toma una muestra aleatoria simple de \(100\) neumáticos y se obtiene una media muestral de \(48000\) kilómetros. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del \(90\)% para \(\mu\)

b) Calcúlese el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y \(\mu\) sea menor o igual a \(1000\) kilómetros con probabilidad mayor o igual que \(0,95\)

a) Llamando \(x\) a la variable aleatoria que mida la duración en Km de los neumáticos, se tendría que dicha variable se comporta como una normal \(x:N(\mu,\sigma)\)

Para muestras de tamaño \(100\), las medias también siguen una distribución Normal, \(\bar{x}:N(\mu,\frac{3000}{\sqrt{100}})\)

Para una muestra de este tamaño, se ha obtenido una media muestral de \(\bar{x}=48000\)

El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(90\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,90\Rightarrow \alpha=0,1\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,645\)

Por lo tanto,

\(IC=(48000-1,645\frac{3000}{\sqrt{100}},48000+1,645\frac{3000}{\sqrt{100}})=\bbox[yellow]{(47505, 48495)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística

En este caso, al ser \(95\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,95\Rightarrow\alpha=0,05\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96\), por lo tanto, \(n>(1,96\frac{3000}{1000})^2=34,6\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 35}\)

Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción B) (Calificación: 2 ptos) 

El tiempo de espera para ser atendido en cirto establecimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) desconocida y desviación típica igual a \(3\) minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(121\)

a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y \(\mu\) sea mayor que \(0,5\) minutos

b) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del \(95\)% para \(\mu\), si la media de la muestra es igual a \(7\) minutos

a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable que mide el tiempo de espera, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(\mu, \sigma)\), ver estadística

Para muestras de tamaño \(121\) elementos, se tendrán las medias muestrales que seguirán una distribución Normal: \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{121}})\)

El ejercicio pide hallar \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 0,5)\)

Es decir, \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 0,5)=1-P(|\bar{x}-\mu|< 0,5)=1-P(-0,5<\bar{x}-\mu< 0,5)=1-P(\mu-0,5<\bar{x}< \mu +0,5)\)

Para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(\bar{x}\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)

De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{121}}}\) y

\(1-P(\mu-0,5<\bar{x}< \mu +0,5)=1-P(\frac{\mu-0,5-\mu}{\frac{3}{11}}<z<\frac{\mu+0,5-\mu}{\frac{3}{11}})=1-P(-1,83<z<1,83)=1-(P(z<1,83)-P(z\leq -1,83))=1-(P(z<1,83)-P(z\geq 1,83))=1-(P(z<1,83)-(1-P(z< 1,83))\)

Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(|\bar{x}-\mu|\geq 0,5)=0,0672}\)

b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(7-1,95\frac{3}{\sqrt{121}},7+1,95\frac{3}{\sqrt{121}})=\bbox[yellow]{(6,47, 7,53)}\)

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