Estadística en Selectividad 2013

Ejercicio :(Junio 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

El número de megabytes (Mb) descargados mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil con la tarifa \(AA\) se puede aproximar por una distribución normal con media \(3,5\)Mb y desviación típica igual a \(1,4\)Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(49\)

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a \(3,37\) Mb?

b) Supóngase ahora que la media poblacional es desconocida y que la media muestral toma el valor de \(3,42\) Mb. Obténgase un intervalo de confianza al \(95\)% para la media de la población

Por los datos del enunciado, siendo \(X\) la variable que mide los Mb descargados mensualmente, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(3,5, 1.4)\), ver estadística

El ejercicio pide hallar la probabilidad de que la media sea inferior a \(3,37\), es decir, \(P(\bar{x}<3,37)\), para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(X\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)

De forma que \(z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma}\) y

\(P(\bar{x}<3,37)=P(z<\dfrac{3,37-3,5}{0,2})=P(z<-0,65)=P(z>0,65)=1-P(z\leq 0,65)\)

Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\boxed{P(\bar{x}<3,37)=0,2578}\)

b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(3,42-1,96\dfrac{1,4}{\sqrt{49}},3,42+1,96\dfrac{1,4}{\sqrt{49}})=\boxed{(3,03, 3,81)}\)

Ejercicio : (Junio 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

La distribución en horas de un determinado tipo de bombillas se puede aproximar por una distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(1940\) h. Se toma una muestra aleatoria simple

a) ¿Qué tamaño muestral se necesitará como mínimo para que, con un nivel de confianza del \(95\)%, el valor absoluto de la diferencia entre \(\mu\) y la duración media observada \(\bar{X}\) de esas bombillas sea inferior a \(100\)h?

b) Si el tamaño de la muestra es \(225\) y la duración media observada \(\bar{X}\) es de \(12415\) h, obténgase un intervalo confianza al \(90\)% para \(\mu\)

a) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística

En este caso, al ser \(95\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,95\Rightarrow\alpha=0,05\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96\), por lo tanto, \(n>(1,96\dfrac{1940}{100})^2\Rightarrow\boxed{n\geq 1446}\)

b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(90\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,90\Rightarrow \alpha=0,1\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,645\)

Por lo tanto,

\(IC=(12415-1,645\dfrac{1940}{\sqrt{225}},12415+1,645\dfrac{1940}{\sqrt{225}})=\boxed{(12202, 12628)}\)

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