\[\]Ejercicio 4: Operar y simplificar la expresión \((\frac{x}{4x+1}\cdot\frac{x}{x-1})+(\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x}{3x-1})\)

Es necesario recordar cómo operar con fracciones y también cómo calcular el mínimo común múltiplo

\((\frac{x}{4x+1}\cdot\frac{x}{x-1})+(\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x}{3x-1})=\frac{x^2-x}{x(4x+1)}+\frac{3x^2-3x-x+1}{x\cdot x}=\frac{x(x^2-x)}{x^2(4x+1)}+\frac{(4x+1)(3x^2-4x+1)}{x^2(4x+1)}=\bbox[yellow]{\frac{13x^2-14x^2+1}{x^2(4x+1)}}\)

 

\[\]Ejercicio 5: Operar y simplificar las siguientes expresiones radicales

a) \(\frac{9}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)

b) \(\frac{\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}\)

c) \(\frac{\sqrt{x}}{2-3\sqrt{x}}\)

d) \(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)

e) \(\frac{6+\sqrt{x}}{6-\sqrt{x}}\)

Repasando la teoría sobre cómo operar con fracciones y también sobre cómo multiplicar potencias

a) \(\frac{9}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{9(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{9\sqrt{x}+9\sqrt{y}}{(\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2}=\bbox[yellow]{\frac{9\sqrt{x}+9\sqrt{y}}{x-y}}\)

b) \(\frac{\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}=\sqrt{(\sqrt{x}-2)(3+\sqrt{x})}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}=\frac{3\sqrt{x}+(\sqrt{x})^2-6-2\sqrt{x}}{3^2-(\sqrt{x})^2}=\bbox[yellow]{\frac{\sqrt{x}+x-6}{9-x}}\)

c) \(\frac{\sqrt{x}}{2-3\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}(2+3\sqrt{x})}{(2-3\sqrt{x})(2+3\sqrt{x})}=\frac{2\sqrt{x}+3(\sqrt{x})^2}{2^2-(3\sqrt{x})^2}=\bbox[yellow]{\frac{2\sqrt{x}+3x}{4-9x}}\)

d) \(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}=\bbox[yellow]{\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{x-y}}\)

e) \(\frac{6+\sqrt{x}}{6-\sqrt{x}}=\frac{(6+\sqrt{x})(6+\sqrt{x})}{(6-\sqrt{x})(6+\sqrt{x})}=\frac{(6+\sqrt{x})^2}{6^2-(\sqrt{x})^2}=\bbox[yellow]{\frac{(6+\sqrt{x})^2}{36-x}}\)

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