Ejercicios de expresiones fraccionarias y radicales

Ejercicio 1: Reducir las siguientes fracciones a mínimo común denominador

a) \(\dfrac{x+1}{x^2-1},\dfrac{x^2}{x+1}\)

b) \(\dfrac{a+b}{a-b},\dfrac{a-b}{(a-b)^2},\dfrac{a}{a^2-b^2}\)

c) \(\dfrac{1}{x+1},\dfrac{1}{x-2},\dfrac{4}{x^2-4^2}\)

Recordando cómo se hace común denominador y recordando también el mínimo común múltiplo. Además, teniendo en cuenta las igualdades notables, se tiene

a)\(\dfrac{x+1}{x^2-1},\dfrac{x^2}{x+1}=\boxed{\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)},\dfrac{x^2(x-1)}{(x+1)(x-1)}}\)

b)\(\dfrac{a+b}{a-b},\dfrac{a-b}{(a-b)^2},\dfrac{a}{a^2-b^2}=\dfrac{a+b}{a-b},\dfrac{a-b}{(a-b)(a-b)},\dfrac{a}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{(a+b)(a-b)(a+b)}{(a-b)(a-b)(a+b)},\dfrac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2(a+b)},\dfrac{a(a-b)}{(a^2-b^2)(a-b)}=\boxed{\dfrac{(a+b)^2(a-b)}{(a-b)^2(a+b)},\dfrac{(a^2-b^2)}{(a-b)^2(a+b)},\dfrac{a(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}}\)

c) \(\dfrac{1}{x+1},\dfrac{1}{x-2},\dfrac{4}{x^2-4}=\dfrac{1}{x+1},\dfrac{1}{x-2},\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{1(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)(x+2)},\dfrac{1(x+2)}{(x-2)(x+2)},\dfrac{4(x+1)}{(x-2)(x+2)(x+1)}=\boxed{\dfrac{x^2-4}{(x+1)(x^2-4)},\dfrac{x+2}{x^2-4},\dfrac{4x+4)}{(x^2-4)(x+1)}}\)

 

Ejercicio 2: Simplificar las siguientes fracciones factorizando previamente

a) \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}\)

b) \(\dfrac{x+1}{x^2-1}\)

c) \(\dfrac{x^2+2ax+a^2}{mx+ma}\)

d) \(\dfrac{x^2-1}{x^4-1}\)

Teniendo en cuenta las igualdades notables, se tiene

a) \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}=\dfrac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}=\dfrac{(a+b)(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\boxed{\dfrac{a+b}{a-b}}\)

b) \(\dfrac{x+1}{x^2-1}=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\boxed{\dfrac{1}{x-1}}\)

c) \(\dfrac{x^2+2ax+a^2}{mx+ma}=\dfrac{(x+a)^2}{mx+ma}=\dfrac{(x+a)(x+a)}{m(x+a)}=\boxed{\dfrac{x+a}{m}}\)

d) \(\dfrac{x^2-1}{x^4-1}=\dfrac{x^2-1}{(x^2)^2-1^2}=\dfrac{x^2-1}{(x^2-1)(x^2+1)}=\boxed{\dfrac{1}{x^2+1}}\)

Ejercicio 3: Operar y simplificar la siguiente expresión fraccionaria: \((\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x})(x^4+x^3)\)

Para operar la expresión es necesario repasar la teoría sobre cómo hacer común denominador, sobre el mínimo común múltiplo, sobre cómo sacar factor común y también sobre cómo multiplicar potencias con la misma base

\((\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x})(x^4+x^3)=(\dfrac{x^2\cdot x}{x^3\cdot x^2\cdot x}-\dfrac{x^3\cdot x}{x^2\cdot x^3\cdot x}+\dfrac{x^3\cdot x^2}{x^2\cdot x^3\cdot x})(x^4+x^3)=(\dfrac{x^3}{x^2\cdot x^3\cdot x}-\dfrac{x^4}{x^2\cdot x^3\cdot x}+\dfrac{x^5}{x^2\cdot x^3\cdot x})(x^4+x^3)=(\dfrac{x^3-x^4+x^5}{x^2\cdot x^3\cdot x})(x^4+x^3)=\dfrac{x^3(1-x+x^2)}{x^6}(x^3(x+1)=\boxed{(1-x+x^2)(1+x)}\)

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