\[\]Ejercicio 1: Reducir las siguientes fracciones a mínimo común denominador
a) \(\frac{x+1}{x^2-1},\frac{x^2}{x+1}\)
b) \(\frac{a+b}{a-b},\frac{a-b}{(a-b)^2},\frac{a}{a^2-b^2}\)
c) \(\frac{1}{x+1},\frac{1}{x-2},\frac{4}{x^2-4^2}\)
Recordando cómo se hace común denominador y recordando también el mínimo común múltiplo. Además, teniendo en cuenta las igualdades notables, se tiene
a)\(\frac{x+1}{x^2-1},\frac{x^2}{x+1}=\bbox[yellow]{\frac{x+1}{(x+1)(x-1)},\frac{x^2(x-1)}{(x+1)(x-1)}}\)
b)\(\frac{a+b}{a-b},\frac{a-b}{(a-b)^2},\frac{a}{a^2-b^2}=\frac{a+b}{a-b},\frac{a-b}{(a-b)(a-b)},\frac{a}{(a-b)(a+b)}=\frac{(a+b)(a-b)(a+b)}{(a-b)(a-b)(a+b)},\frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2(a+b)},\frac{a(a-b)}{(a^2-b^2)(a-b)}=\bbox[yellow]{\frac{(a+b)^2(a-b)}{(a-b)^2(a+b)},\frac{(a^2-b^2)}{(a-b)^2(a+b)},\frac{a(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}}\)
c) \(\frac{1}{x+1},\frac{1}{x-2},\frac{4}{x^2-4}=\frac{1}{x+1},\frac{1}{x-2},\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{1(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)(x+2)},\frac{1(x+2)}{(x-2)(x+2)},\frac{4(x+1)}{(x-2)(x+2)(x+1)}=\bbox[yellow]{\frac{x^2-4}{(x+1)(x^2-4)},\frac{x+2}{x^2-4},\frac{4x+4)}{(x^2-4)(x+1)}}\)
Ejercicio 2: Simplificar las siguientes fracciones factorizando previamente
a) \(\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}\)
b) \(\frac{x+1}{x^2-1}\)
c) \(\frac{x^2+2ax+a^2}{mx+ma}\)
d) \(\frac{x^2-1}{x^4-1}\)
Teniendo en cuenta las igualdades notables, se tiene
a) \(\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}=\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\bbox[yellow]{\frac{a+b}{a-b}}\)
b) \(\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\bbox[yellow]{\frac{1}{x-1}}\)
c) \(\frac{x^2+2ax+a^2}{mx+ma}=\frac{(x+a)^2}{mx+ma}=\frac{(x+a)(x+a)}{m(x+a)}=\bbox[yellow]{\frac{x+a}{m}}\)
d) \(\frac{x^2-1}{x^4-1}=\frac{x^2-1}{(x^2)^2-1^2}=\frac{x^2-1}{(x^2-1)(x^2+1)}=\bbox[yellow]{\frac{1}{x^2+1}}\)
\[\] Ejercicio 3: Operar y simplificar la siguiente expresión fraccionaria: \((\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x})(x^4+x^3)\)
Para operar la expresión es necesario repasar la teoría sobre cómo hacer común denominador, sobre el mínimo común múltiplo, sobre cómo sacar factor común y también sobre cómo multiplicar potencias con la misma base
\((\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x})(x^4+x^3)=(\frac{x^2\cdot x}{x^3\cdot x^2\cdot x}-\frac{x^3\cdot x}{x^2\cdot x^3\cdot x}+\frac{x^3\cdot x^2}{x^2\cdot x^3\cdot x})(x^4+x^3)=(\frac{x^3}{x^2\cdot x^3\cdot x}-\frac{x^4}{x^2\cdot x^3\cdot x}+\frac{x^5}{x^2\cdot x^3\cdot x})(x^4+x^3)=(\frac{x^3-x^4+x^5}{x^2\cdot x^3\cdot x})(x^4+x^3)=\frac{x^3(1-x+x^2)}{x^6}(x^3(x+1)=\bbox[yellow]{(1-x+x^2)(1+x)}\)