Definición
Una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad, siendo dichas cantidades números o polinomios
Denominador común
- Hacer denominador común entre dos o más fracciones consiste en calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de dichas fracciones y multiplicar el numerador de cada una por el mismo factor que se ha multiplicado el denominador para alcanzar el m.c.m., ver la teoría sobre el Mínimo Común MúltiploEjemplo: Hacer denominador común de las siguientes fracciones \(\frac 13, \frac 12, \frac 15\). Primeramente se calculará el m.c.m. de \(3,2,5\), como los tres números son números primos (sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad), el m.c.m. será la multiplicación de todos ellos, es decir, \(m.c.m.(3,2,5)=30\)
De forma que el denominador común será \(30\), y el numerador de la primera fracción deberá multiplicarse por \(10\) ya que es el factor por el que se ha multiplicado a \(3\) para llegar a \(30\). En la segunda, como \(15\) es el factor por el que ha multiplicado el denominador \(2\), será también el factor por el que se multiplicará el numerador. En el caso de la tercera fracción, el factor por el que se debe multiplicar al numerador será \(6\). De esta manera, quedará \(\frac{10}{30}, \frac{15}{30}, \frac{6}{30}\) - En el caso de cocientes polinómicos, por ejemplo, \(\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+e}\), el denominador común se hará de igual forma que la explicada anteriormente, es decir; se buscará el factor común de los denominadores y se multiplicará el numerador de cada fracción por el factor por el que se multiplicó el denominador para obtener el denominador comúnEjemplo: Calcular el denominador común de \(\frac{3x}{x^2-4}, \frac{5}{x+2}\)
Como \(x^2-4= (x-2)\cdot (x+2)\), repasar las igualdades notables, el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores será \((x-2)\cdot (x+2)\), ver la teoría sobre el Mínimo Común Múltiplo
Por lo tanto, el numerador de la primera fracción se deberá multiplicar por uno y el de la segunda por \((x-2)\) ya que es el factor por el que se ha multiplicado a \((x+2)\)
para obtener \(x^2-4\)
Por lo tanto, \(\frac{3x}{x^2-4}, \frac{5(x-2)}{x^2-4}=\frac{5x-10}{x^2-4}\)
Operaciones con fracciones
El orden en el que se realizan las operaciones con fracciones es: primero multiplicación y división y por último, suma y resta
Suma y resta
Para sumar (restar) fracciones se debe hacer denominador común primeramente y sumar (restar) los numeradores
\(\bbox[yellow]{\frac ab \pm \frac cd =\frac{a\cdot (\frac{m.c.m. (b,d)}{b} )\pm b\cdot (\frac{m.c.m. (b,d)}{d} )}{m.c.m. (b,d)}}\)
Ejemplo: Sumar las siguientes fracciones \(\frac 13 + \frac 12 + \frac 15\)
Como se ha visto antes, tras hacer el denominador común se tiene \(\frac{10}{30}+ \frac{15}{30} + \frac{6}{30}=\frac{10+15+6}{30}=\frac{31}{30}\)
Multiplicación
La multiplicación de dos o más fracciones se hace multiplicando en paralelo, es decir, multiplicando el numerador por el numerador y los denominadores entre sí
\(\bbox[yellow]{\frac ab \cdot \frac cd =\frac{a\cdot b}{c\cdot d}}\)
Ejemplo: Multiplicar las siguientes fracciones \(\frac 23 \cdot \frac 52 =\frac{10}{6}\)
División
La división de dos fracciones se hará multiplicando en cruz, es decir, se multiplicará el numerador de la fracción que se divide por el denominador de la fracción que divide y ésta multiplicación será el numerador del resultado
El denominador del resultado será la multiplicación del denominador de la fracción que se divide por el numerador de la fracción que divide
\(\bbox[yellow]{\frac ab : \frac cd =\frac{a\cdot d}{c\cdot b}}\)
Ejemplo: Dividir las siguientes fracciones \(\frac 23 : \frac 52 =\frac{4}{15}\)
Simplificar fracciones
Si el numerador y el denominador de una fracción tienen múltiplos comunes, se simplificará la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre dichos múltiplos comunes hasta que su m.c.m. sea uno
Ejemplo: Simplificar \(\frac 39 \). El \(3\) y el \(9\) tienen como factor común el \(3\), por lo tanto, para simplificar la fracción se deberá dividir el numerador y el denominador por este factor común, \(\frac 39 =\frac 13\)