Operaciones con fracciones

Definición

Una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad, siendo dichas cantidades números o polinomios

Denominador común

  • Hacer denominador común entre dos o más fracciones consiste en calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de dichas fracciones y multiplicar el numerador de cada una por el mismo factor que se ha multiplicado el denominador para alcanzar el m.c.m., ver la teoría sobre el Mínimo Común MúltiploEjemplo: Hacer denominador común de las siguientes fracciones \(\dfrac 13, \dfrac 12, \dfrac 15\). Primeramente se calculará el m.c.m. de \(3,2,5\), como los tres números son números primos (sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad), el m.c.m. será la multiplicación de todos ellos, es decir, \(m.c.m.(3,2,5)=30\)
    De forma que el denominador común será \(30\), y el numerador de la primera fracción deberá multiplicarse por \(10\) ya que es el factor por el que se ha multiplicado a \(3\) para llegar a \(30\). En la segunda, como \(15\) es el factor por el que ha multiplicado el denominador \(2\), será también el factor por el que se multiplicará el numerador. En el caso de la tercera fracción, el factor por el que se debe multiplicar al numerador será \(6\). De esta manera, quedará \(\dfrac{10}{30}, \dfrac{15}{30}, \dfrac{6}{30}\)
  • En el caso de cocientes polinómicos, por ejemplo, \(\dfrac{ax^2+bx+c}{dx^2+e}\), el denominador común se hará de igual forma que la explicada anteriormente, es decir; se buscará el factor común de los denominadores y se multiplicará el numerador de cada fracción por el factor por el que se multiplicó el denominador para obtener el denominador comúnEjemplo: Calcular el denominador común de \(\dfrac{3x}{x^2-4}, \dfrac{5}{x+2}\)
    Como \(x^2-4= (x-2)\cdot (x+2)\), repasar las igualdades notables, el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores será \((x-2)\cdot (x+2)\), ver la teoría sobre el Mínimo Común Múltiplo
    Por lo tanto, el numerador de la primera fracción se deberá multiplicar por uno y el de la segunda por \((x-2)\) ya que es el factor por el que se ha multiplicado a \((x+2)\)
    para obtener \(x^2-4\)
    Por lo tanto, \(\dfrac{3x}{x^2-4}, \dfrac{5(x-2)}{x^2-4}=\dfrac{5x-10}{x^2-4}\)

Operaciones con fracciones

El orden en el que se realizan las operaciones con fracciones es: primero multiplicación y división y por último, suma y resta

Suma y resta

Para sumar (restar) fracciones se debe hacer denominador común primeramente y sumar (restar) los numeradores
\(\boxed{\dfrac ab \pm \dfrac cd =\dfrac{a\cdot (\frac{m.c.m. (b,d)}{b} )\pm b\cdot (\frac{m.c.m. (b,d)}{d} )}{m.c.m. (b,d)}}\)

Ejemplo: Sumar las siguientes fracciones \(\dfrac 13 + \dfrac 12 + \dfrac 15\)
Como se ha visto antes, tras hacer el denominador común se tiene \(\dfrac{10}{30}+ \dfrac{15}{30} + \dfrac{6}{30}=\dfrac{10+15+6}{30}=\dfrac{31}{30}\)

Multiplicación

La multiplicación de dos o más fracciones se hace multiplicando en paralelo, es decir, multiplicando el numerador por el numerador y los denominadores entre sí
\(\boxed{\dfrac ab \cdot \dfrac cd =\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}}\)

Ejemplo: Multiplicar las siguientes fracciones \(\dfrac 23 \cdot \dfrac 52 =\dfrac{10}{6}\)

División

La división de dos fracciones se hará multiplicando en cruz, es decir, se multiplicará el numerador de la fracción que se divide por el denominador de la fracción que divide y ésta multiplicación será el numerador del resultado
El denominador del resultado será la multiplicación del denominador de la fracción que se divide por el numerador de la fracción que divide
\(\boxed{\dfrac ab : \dfrac cd =\dfrac{a\cdot d}{c\cdot b}}\)

Ejemplo: Dividir las siguientes fracciones \(\dfrac 23 : \dfrac 52 =\dfrac{4}{15}\)

Simplificar fracciones

Si el numerador y el denominador de una fracción tienen múltiplos comunes, se simplificará la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre dichos múltiplos comunes hasta que su m.c.m. sea uno

Ejemplo: Simplificar \(\frac 39 \). El \(3\) y el \(9\) tienen como factor común el \(3\), por lo tanto, para simplificar la fracción se deberá dividir el numerador y el denominador por este factor común, \(\frac 39 =\frac 13\)

Ver Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Ver ejercicios de fracciones

Ver ejercicios de expresiones fraccionarias