\[\]Ejercicio 4: Hallar las funciones inversas o recíprocas de las siguiente funciones
a) \(f(x)=3x-2\)
b) \(f(x)=\sqrt{x}\)
c) \(f(x)=x^2\)
d) \(f(x)=x^3+2\)
e) \(f(x)=\frac{x^2+7}{3}\)
Para calcular la función inversa se despejará la variable \(x\) de la expresión y se tomará la inversa de la función, ver cómo calcular la inversa de una función
a) \(f(x)=3x-2\Rightarrow x=\frac{f(x)+2}{3}\Rightarrow\bbox[yellow]{f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}}\)
b) \(f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f(x)^2=(\sqrt{x})^2\Rightarrow x=f(x)^2\Rightarrow\bbox[yellow]{f^{-1}(x)=x^2}\)
c) \(f(x)=x^2\Rightarrow \sqrt{f(x)}=x\Rightarrow\bbox[yellow]{f^{-1}(x)=\sqrt{x}}\)
d) \(f(x)=x^3+2\Rightarrow f(x)-2=x^3\Rightarrow\sqrt[3]{f(x)-2}=x\Rightarrow\bbox[yellow]{f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}}\)
e) \(f(x)=\frac{x^2+7}{3}\Rightarrow 3f(x)=x^2+7\Rightarrow 3f(x)-7=x^2\Rightarrow x=\sqrt{3f(x)-7}\Rightarrow\bbox[yellow]{f^{-1}(x)=\sqrt{3x-7}}\)
\[\]Ejercicio 5: Dadas las funciones \(f(x)=3x+5\), \(g(x)=\sqrt{x-1}\), \(h(x)=x^2+2\), \(i(x)=\frac 1x+7\) y \(j(x)=1-x\). Calcular
a) \((f+j)(2)\)
b) \(fog(x)\)
c) \(f^{-1}(x)\)
d) Dominio de \(f(x), g(x)\) y \(i(x)\)
a) \((f+j)(2)\Rightarrow (f+j)(x)=3x+5+1-x=2x+6\Rightarrow (f+j)(2)=2\cdot 2+6=\bbox[yellow]{10}\)
b) \(fog(x)\)
Ver cómo se calcula la composición entre dos funciones
\(fog(x)=f(\sqrt{x-1})=\bbox[yellow]{3(\sqrt{x-1})+5}\)
c) \(f^{-1}(x)\)
Repasar cómo calcular la inversa de una función
\(f^{-1}(x)\Rightarrow 3x=f(x)-5\Rightarrow x=\frac{f(x)-5}{3}\Rightarrow\bbox[yellow]{f^{-1}(x)=\frac{x-5}{3}}\)
d) Dominio de \(f(x), g(x)\) y \(i(x)\)
Consultar la teoría sobre dominio de una función
Como \(f(x)\) es un polinomio, su dominio serán todos los números reales,
\(D(f(x))=\mathbb{R}\)
\(g(x)\) es una función radical, su dominio serán todos los números reales menos aquéllos que hagan negativo el argumento de la raíz,
\(x-1<0\Rightarrow x<1\Rightarrow D(g(x))=[1,\infty]\)
Como \(i(x)\) es una función polinómica con un cociente, su dominio serán todos los números reales menos aquéllos que hagan cero el denominador del cociente,
\(x=0\Rightarrow D(i(x))=\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
\[\] Ejercicio 6: Dadas las funciones \(f(x)=2x+1\) y \(g(x)=x^3\). Hallar \(gof\) y \(fog\). ¿Coinciden?
Recordando la teoría sobre composición de funciones, se tiene
\(gof(x)=g(2x+1)=\bbox[yellow]{(2x+1)^3}\)
\(fog(x)=f(x^3)=\bbox[yellow]{2x^3+1}\)
Por lo tanto, como \((2x+1)^3\neq 2x^3+1\Rightarrow\) \(\bbox[yellow]{\hbox{No coinciden}}\)