Ejercicios de Geometría analítica II

\[\] Ejercicio 7: Calcular el ángulo formado por las rectas \(r_1:x-2y+3=0\) y \(r_2:2x+y+4=0\)

Como las rectas ya están en su forma general, ver ecuaciones de la recta, puede aplicarse directamente la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas, ver ángulo entre dos rectas, ver ángulo entre dos rectas, obteniendo

\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{|1.2+(-2)1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\sqrt{2^2+1^2}}=0\Rightarrow\bbox[yellow]{\alpha=90}\)

Luego las rectas son perpendiculares entre sí

\[\] Ejercicio 8: Dado el triángulo de vértices \(A(1,3)\), \(A(0,2)\) y \(A(5,1)\):

1. Hallar la ecuación de sus tres mediatrices

2. Calcular el circuncentro

3. Calcular la circunferencia circunscrita en el triángulo

1. La mediatriz entre dos puntos es el conjunto de puntos \((x,y)\) tales que equidistan de los dos puntos, es decir, entre los puntos \(A\) y \(B\) la mediatriz será el conjunto de puntos \(P(x,y)\) tales que \(d(P,A)=d(P,B)\), ver cómo calcular la mediatriz de un triángulo y la distancia entre dos puntos,

\(\displaystyle d(P,A)=\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=\sqrt{x^2+(y-2)^2}=d(P,B)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2-2x+1+y^2-6y+9=x^2+y^2-4y+4\Rightarrow-2x-2y+6=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x+y-3=0}\)

Se calcula ahora la mediatriz entre los puntos \(B\) y \(C\),

\(\displaystyle d(P,B)=\sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}=d(P,C)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2+y^2-4y+4=x^2-10x+25+y^2-2y+1\Rightarrow 10x-2y-22=0\Rightarrow\bbox[yellow]{5x-y-11=0}\)

Se calcula ahora la mediatriz entre los puntos \(A\) y \(C\),

\(\displaystyle d(P,A)=\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}=d(P,C)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2-2x+1+y^2-6y+9=x^2-10x+25+y^2-2y+1\Rightarrow 8x-4y-16=0\Rightarrow\bbox[yellow]{2x-y-4=0}\)

2. El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices encontradas, ver cómo calcular el circuncentro, por lo que se ha de resolver el sistema que forman dichas rectas, es decir, resolver

\(\displaystyle\begin{cases}x+y-3=&0\\5x-y-11=&0 \\2x-y-4=&0 \\\end{cases}\)

Despejando la \(y\) de la primera ecuación, \(y=3-x\), y sustituyendo dicho valor en la segunda ecuación se obtiene \(2x-3+x-4=0\), de forma que \(x=\frac 73\) y \(y=\frac 23\)

Por lo tanto el circuncentro será \(\displaystyle\bbox[yellow]{(\frac 73,\frac 23)}\)

3. La distancia del punto encontrado en el apartado anterior (el circuncentro) a uno de los vértices del triángulo será el radio, \(r\), de la circunferencia pedida, ver geometría de la circunferencia circunscrita y cómo calcular distancias,

\(r=\sqrt{(\frac 73-0)^2+(\frac 23-2)^2}=\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{16}{9}}=\frac{65}{9}\)

De forma que la ecuación de la circunferencia circunscrita será

\(\bbox[yellow]{\displaystyle (x-\frac 73)^2+(y-\frac 23)^2=\frac{65}{9}}\)

 

\[\] Ejercicio 9: Calcular el ángulo formado por las rectas \(r_1:\begin{cases}x=&1-\lambda\\y=&2+\lambda\\\end{cases}\) y \(r_2:3x+y+1=0\)

Primeramente se escribe la primera recta en su expresión de ecuación general, ver ecuaciones de la recta,

\(\displaystyle r_1:\begin{cases}x=&1-\lambda\\y=&2+\lambda\\\end{cases}\Rightarrow\lambda=1-x=y-2\Rightarrow x+y-3=0\)

Utilizando la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas, ver ángulo entre dos rectas, se obtiene

\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{|3+1|}{\sqrt{20}}=0.894427\Rightarrow\bbox[yellow]{\alpha=26,33}\)

\[\] Ejercicio 10: Dado el triángulo de vértices \(A(0,1)\), \(A(2,3)\) y \(A(-2,0)\):

1. Calcular el circuncentro

2. Hallar una recta que una dos vértices del triángulo

1. El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo, ver cómo calcular el circuncentro,

La mediatriz entre dos puntos es el conjunto de puntos \((x,y)\) tales que equidistan de los dos puntos, es decir, entre los puntos \(A\) y \(B\) la mediatriz será el conjunto de puntos \(P(x,y)\) tales que \(d(P,A)=d(P,B)\), ver cómo calcular la mediatriz de un triángulo y la distancia entre dos puntos,

\(\displaystyle d(P,A)=\sqrt{x^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=d(P,B)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2+y^2-2y+1=x^2-4x+4+y^2-6y+9\Rightarrow 4x+4y-12=0\Rightarrow x+y-3=0\)

Se calcula ahora la mediatriz entre los puntos \(A\) y \(C\),

\(\displaystyle d(P,B)=\sqrt{x^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x+2)^2+y^2}=d(P,C)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2+y^2-2y+1=x^2+4x+4+y^2\Rightarrow -4x-2y-3=0\)

Basta con las dos mediatrices calculadas para hallar el circuncentro, es suficiente con resolver el sistema que forman dichas rectas, es decir, resolver

\(\displaystyle\begin{cases}x+y-3=&0\\-4x-2y-3=&0 \\\end{cases}\)

Resolviendo el sistema se obtiene \(x=-\frac 32\) y \(y=\frac 32\)

Por lo tanto el circuncentro será \(\displaystyle\bbox[yellow]{(-\frac 32,\frac 32)}\)

2. Se calcula la recta que une \(A\) y \(B\), ver cómo calcular una recta que pasa por dos puntos dados,

Primeramente se calcula el vector director de la recta que se pretende hallar;

\(\displaystyle\vec{AB}=(2,3)-(0,1)=(2,2)\)

Como la recta pasa por el punto \(A\) y por , basta con sustituir uno de los dos puntos (por ejemplo\(B\)) por la expresión continua de la recta; ver ecuaciones de la recta,

\(\displaystyle\frac{x}{2}=\frac{y-1}{2}\)

Reescribiendo la recta en su expresión general quedaría \(\displaystyle\bbox[yellow]{2x-2y+2=0}\)

 

\[\] Ejercicio 11: Calcular la distancia del punto \(P(3,2)\) a la recta \(\displaystyle 3x+4y-5=0\)

Utilizando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta, ver distancias, se obtiene el resultado final

\(d(P,r)=\frac{|3.3+2.4-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\bbox[yellow]{\frac{12}{5}}\)

\[\] Ejercicio 12: Los siguientes puntos \(A(-1,0)\), \(A(1,2)\) y \(A(3,1)\) forman un triángulo:

1. Calcular el circuncentro

2. Calcular sus ángulos y la longitud de los lados

3. Calcular la altura del vértice \(B\)

1. El circuncentro es el punto donde se juntan las mediatrices de un triángulo. La mediatriz entre dos puntos es el conjunto de puntos \((x,y)\) tales que equidistan de los dos puntos, es decir, entre los puntos \(A\) y \(B\) la mediatriz será el conjunto de puntos \(P(x,y)\) tales que \(d(P,A)=d(P,B)\), ver cómo calcular la mediatriz de un triángulo y la distancia entre dos puntos

En este caso,

\(\displaystyle d(P,A)=\sqrt{(x+1)^2+y^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=d(P,B)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2+2x+1+y^2=x^2-2x+1+y^2-4y+4\Rightarrow 4x+4y-4=0\Rightarrow x+y-1=0\)

Se calcula ahora la mediatriz entre los puntos \(B\) y \(C\),

\(\displaystyle d(P,B)=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=d(P,C)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-6x+9+y^2-2y+1\Rightarrow 4x-2y-5=0\Rightarrow 5x-y-11=0\)

Como el circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices, ver cómo calcular el circuncentro, bastará con resolver el siguiente sistema

\(\displaystyle\begin{cases}x+y-1=&0\\5x-y-11=&0 \\\end{cases}\)

Resolviendo el sistema queda que \(x=\frac 76\) y \(y=-\frac 16\)

Por lo tanto el circuncentro será \(\displaystyle\bbox[yellow]{(\frac 76,-\frac 16)}\)

2. Para calcular los ángulos y la longitud primero se deben calcular los lados del triángulo, es decir, los vectores que unen los vértices del triángulo,

\(\displaystyle\vec{AB}=(1,2)-(-1,0)=(2,2)\)
\(\displaystyle\vec{AC}=(3,1)-(-1,0)=(4,1)\)
\(\displaystyle\vec{BC}=(3,1)-(1,2)=(2,-1)\)

siendo sus longitudes los módulos de los vectores hallados, es decir

\(\displaystyle|\vec{AB}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}\)
\(\displaystyle|\vec{AC}|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\)
\(\displaystyle|\vec{BC}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\)

Para calcular los ángulos formados en los vértices del triángulo se utiliza la fórmula siguiente, ver cómo calcular ángulos entre vectores,

sea \(\alpha\) el ángulo formado por \(BAC\), entonces (ver cómo se calcula el producto escalar)

\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{\vec{AB}\vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}=\frac{8+2}{\sqrt{8}\sqrt{17}}=\frac{10}{\sqrt{8}\sqrt{17}}=0,857\Rightarrow\bbox[yellow]{\alpha=31,01}\)

Sea \(\beta\) el ángulo formado por \(ABC\), entonces,

\(\displaystyle\cos\beta=\frac{\vec{BA}\vec{CA}}{|\vec{BA}||\vec{CA}|}=\frac{-4+2}{\sqrt{8}\sqrt{5}}=\frac{-2}{\sqrt{8}\sqrt{5}}=-0,3162\Rightarrow\bbox[yellow]{\beta=108,43}\)

Sea \(\gamma\) el ángulo formado por \(BCA\), entonces,

\(\displaystyle\cos\gamma=\frac{\vec{CB}\vec{CA}}{|\vec{CB}||\vec{CA}|}=\frac{8-1}{\sqrt{5}\sqrt{17}}=\frac{7}{\sqrt{5}\sqrt{17}}=0,7592\Rightarrow\bbox[yellow]{\gamma=40,60}\)

3. La altura será la distancia del punto \(B\) a la recta \(r\) que pasa por los puntos \(A\) y \(C\)

Primeramente se halla dicha recta, ver cómo se calcula una recta con dos puntos dados

En primer lugar se calcula el vector director de dicha recta

\(\displaystyle\vec{AC}=(3,1)-(-1,0)=(4,1)\)

la recta buscada pasa por el punto \((-1,0)\), luego

\(\displaystyle\frac{x+1}{4}=\frac{y}{1}\Rightarrow x+1=4y\Rightarrow r:x-4y+1=0\)

Se calcula ahora la distancia desde el punto \(B\) hasta la recta \(r\), ver cómo se calculan distancias entre un punto y una recta,

\(\displaystyle d(r,B)=\frac{|2+3(-4)+1|}{\sqrt{1^2+(-4)^2}}=\bbox[yellow]{\frac{11}{\sqrt{17}}}\)

 

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