Ejercicios de Geometría analítica III

Ejercicio 1: Analizar en función del parámetro \(\alpha\) la posición relativa de las rectas \(r:\dfrac{x}{2}=y-1=\dfrac{z-\alpha}{-1}\quad\) y \(\quad s:\dfrac{x+2}{3}=y-1=z\)

Se calcula primeramente un punto que pertenezca a cada una de las rectas y el vector director de \(r\) y de \(s\), ver ecuaciones de la recta y cómo calcular un vector director,

\(\displaystyle\begin{cases}P_r(0,1,\alpha)&\\\vec{v_r}=(2,1,-1)&\\\end{cases}\) y \(\displaystyle\begin{cases}P_s(-2,1,0)&\\\vec{v_s}=(3,1,1)&\\\end{cases}\)

Se comprueba ahora para qué valores del parámetro \(\alpha\) los vectores \(\vec{v_r}\), \(\vec{v_s}\) y \(\vec{P_rP_s}\) son linealmente independientes, ver posiciones relativas entre rectas,

\(\displaystyle\vec{P_rP_s}=(-2,1,0)-(0,1,\alpha)=(-2,0,-\alpha)\)
y

\(\begin{array}{|crl|}2 & 1 & 1 \\3 & 1 & 1 \\-2 & 0 & -\alpha\end{array}=0\Rightarrow-2\alpha-2-(-2-3\alpha)\Rightarrow\alpha=0\)

De forma que si \(\alpha\neq 0\), el determinante es distinto de cero, por lo que los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto, las dos rectas se cruzan

Si \(\alpha=0\), el determinante es cero y \(\begin{array}{|crl|}2 & 1\\3 & 1 \end{array}=-1\neq 0\)

lo que quiere decir que \(\vec{v_r}\) y \(\vec{v_s}\) son linealmente independientes y, por tanto, \(\vec{P_rP_s}\), \(\vec{v_r}\) y \(\vec{v_s}\) dependen linealmente, en conclusión, las rectas \(r\) y \(s\) se cortan

Por lo que el restulado final sería:

\(\displaystyle\boxed{\hbox{Si}\quad\alpha\neq 0,\hbox{ las rectas se cruzan},\quad\hbox{si}\quad\alpha=0,\hbox{ las rectas se cortan}}\)

Ejercicio 2: Se considera la recta \(r\) dada en coordenadas paramétricas \(\displaystyle r:\begin{cases}x=&t\\\ y=&2t\\\ z=&0\\\end{cases}\) y el plano \(\pi:x-y+z-2=0\)

Hallar las coordenadas del punto \(P\) perteneciente a la recta y cuya distancia al plano sea igual que su distancia al origen de coordenadas. Discutir si el punto \(P\) es único

Siendo \(O(0,0,0)\) el origen de coordenadas y \(P(x,y,z)\) el punto pedido que, al estar en la recta \(r\), debe tener coordenadas \(P(t,2t,0)\), se utiliza la fórmula de distancia a un plano y distancia entre dos puntos, ver distancias,

\(\displaystyle d(O,P)=\sqrt{t^2+(2t)^2}=t\sqrt{5}\)

y

\(\displaystyle d(P,\pi)=\dfrac{|t+(-1)2t+0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\dfrac{|-t-2|}{\sqrt{3}}=\dfrac{|t+2|}{\sqrt{3}}\)

Como \(d(O,P)=d(P,\pi)\Rightarrow t\sqrt{5}=\dfrac{|t+2|}{\sqrt{3}}\)

De lo que puede quedar \(t\sqrt{5}=\dfrac{-t-2}{\sqrt{3}}\Rightarrow-t(\sqrt{15}+1)=2\Rightarrow t=\dfrac{-2}{\sqrt{15}+1}\)

o

\(t\sqrt{5}=\dfrac{t+2}{\sqrt{3}}\Rightarrow t(\sqrt{15}-1)=2\Rightarrow t=\dfrac{2}{\sqrt{15}-1}\)

Sustituyendo en las coordenadas del punto pedido, queda

\(\displaystyle\boxed{P(\dfrac{-2}{\sqrt{15}+1},\dfrac{-4}{\sqrt{15}+1},0), P=(\dfrac{2}{\sqrt{15}-1},\dfrac{4}{\sqrt{15}-1},0)}\)

El punto \(P\) no es único ya que se han obtenido dos

 

Ejercicio 3: Se consideran la recta \(\displaystyle r_1:\begin{cases}x-y+2z=&0\\\ x-2y+3z=&1\\\end{cases}\) y la recta \(\displaystyle r_2:\begin{cases}x=&1-2t\\\ y=&t\\\ z=&4+3t\\\end{cases}\)

Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto de intersección de \(r_2\) con el plano \(\pi=x+2y-z+5=0\)

Se halla el punto de corte entre \(\pi\) y \(r_2\) sustituyendo:

\(\displaystyle 1-2t+2t-4-3t+5=0\Rightarrow -3t+2=0\Rightarrow\dfrac 23\)

De forma que el punto será \(P(1-2.\dfrac23,\dfrac 23,4+3.\dfrac 23)=P(-\dfrac 13,\dfrac 23,6)\)

Escribiendo la recta \(r_1\) en su expresión paramétrica, ver ecuaciones de la recta, se obtiene

\(\displaystyle r_1:\begin{cases}x-y+2z=&0\\\ x-2y+3z=&1\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-y=&-2t\\\ x-2y=&1-3t\\\end{cases}\)

Se restan las ecuaciones obtenidas quedando

\(\displaystyle y=-2t-1+3t=t-1\)

Sustituyendo el valor de \(y\) en la primera ecuación se tiene

\(\displaystyle x-(t-1)=-2t\Rightarrow x=t-1-2t=-(t+1)\)

De manera que \(r_1\) puede escribirse como

\(\displaystyle r_2:\begin{cases}x=&-(t+1)\\\ y=&t-1\\\ z=&t\\\end{cases}\)

Para construir el plano se necesitan dos vectores y un punto, ver cómo se construye un plano

El punto será el hallado anteriormente, \(P(-\dfrac 13,\dfrac 23,6)\). El primer vector será el vector director de la recta \(r_1\), ver cómo se calcula un vector director,

\(\vec{v_{r_1}}=(-1,1,1)\)

El segundo vector puede hallarse con un punto de \(r_1\) y el punto hallado \(P\)

Dando el valor \(t=0\) en la expresión de la recta \(r_1\) se obtiene el punto \(P_r(-1,-1,0)\)

De forma que el vector formado por \(P\) y \(P_r\) será

\(\displaystyle\vec{P_rP}=(-\dfrac 13,\dfrac 23, 6)-(-1,-1,0)=(-\dfrac 13 +1,\dfrac 23 +1, 6)=(\dfrac 23,\dfrac 53,6)\)

De manera que los elementos necesarios para formar el plano pedido son, ver cómo construir un plano:

\(\displaystyle r_2:\begin{cases}\vec{P_rP}=(\dfrac 23,\dfrac 53,6)&\\\ \vec{v_{r_1}}=(-1,1,1)&\\\ P_r(-1,-1,0)&\\\end{cases}\)

entonces,

\(\begin{array}{|crl|}-1 & \dfrac 23 & x+1 \\1 & \dfrac 53 & y+1 \\1 & 6 & z\end{array}=-\dfrac{5z}{3}+6x+6+\dfrac 23y+\dfrac 23-(\dfrac{5x}{3}+\dfrac 53+\dfrac{27}{3}-6y-6)\)

Agrupando los términos quedaría que el plano pedido tiene la siguiente expresión

\(\displaystyle\boxed{\dfrac{13x}{3}+\dfrac{20y}{3}-\dfrac{7z}{3}+11=0}\)

 

Ejercicio 4: Hallar una ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta \(r: x=2+t, y=-1+t, z=t\) y es perpendicular al plano \(\pi: x-y+z=2\)

Siendo \(\vec{u_r}=(1,1,1)\), teniendo en cuenta el enunciado y dando el valor \(t=0\) se obtiene el punto que pasa por \(r\),

\(\begin{cases}\vec{u_r}=(1,1,1)&\\\ A(2,-1,0)&\\\end{cases}\)

Como el plano pedido debe ser perpendicular al plano dado, el vector que se obtiene de la expresión de \(\pi\) (\((1,-1,1)\)) que por definición es perpendicular a \(\pi\), ver planos, pertenecerá al plano pedido y será el tercer elemento necesario para hallar la expresión pedida:

\(\displaystyle \begin{cases}\vec{u_r}=(1,1,1)&\\\ \vec{u_{\pi}}=(1,-1,1)&\\\ A(2,-1,0)&\\\end{cases}\)

De manera que

\(\begin{array}{|crl|}1 & 1 & x-2 \\1 & -1 & y+1 \\1 & 1 & z\end{array}=-z+x-2+y+1-(-x+2+z+y+1)\)

Agrupando los términos quedaría que el plano pedido es

\(\displaystyle\boxed{2x-2z-4=0}\)

Ejercicio 5: Determinar la posición relativa de los siguientes planos:
\(\pi_1:x+2y-3z-4=0\)
\(\pi_2:x-y+z-1=0\)
\(\pi_3:-2x+4y-3z=0\)

Para estudiar la posición relativa entre los planos se considera el determinante formado por los vectores de cada plano, el determinante de la matriz ampliada, \(\bar{A}\) y de la matriz sin ampliar, \(A\), ver posiciones relativas entre planos,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & 2 & -3 \\1 & -1 & 1 \\-2 & 4 & -3\end{array}\)

y

\(|\bar{A}|=\begin{array}{|crl|}1 & 2 & -3 & 4\\1 & -1 & 1 & 1\\-2 & 4 & -3& 0\end{array}\)

De forma que resolviendo el primer determinante quedaría, ver cómo resolver determinantes,

\(\displaystyle |A|=3-12-4-(-6-6+4)=-5\neq 0\)

De manera que \(\hbox{Rango}(A)=3=\hbox{Rango}(\bar{A})\) y, por lo tanto \(\boxed{\hbox{los tres planos se cortan en un punto}}\)

 

Ver más ejercicios de Geometría Analítica