Ejercicio :(Junio 2010 Opción A) (Calificación: 3 ptos) Dadas las rectas
\(r\equiv\frac{x}{2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+4}{-1};\;\;\) \(s\equiv\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac z4\)
a) (2 ptos) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a \(r\) y \(s\)
b) (1 pto) Calcular la mínima distancia entre \(r\) y \(s\)
a) Para hallar el vector director, \(\vec{v}\), de la recta que se pide debe hacerse el producto vectorial entre los vectores directores de \(r\) y \(s\), ver producto vectorial y su significado
Para ello, consultando cómo deducir el vector director de la ecuación de una recta, se tiene que \(\vec{r}=(2,4,-1)\) y \(\vec{s}=(1,1,4)\). Además, los puntos \(A(0,1,-4)\) y \(B(0,0,0)\) son puntos de \(r\) y \(s\), respectivamente
De esta forma, \(\vec{v}=(2,4,-1)\times (1,1,4)=(17,-9,-2)\)
Una vez obtenido el vector director de la recta que se busca, la ecuación de dicha recta se obtendrá con la intersección de los planos que contienen a cada recta \(r\) y \(s\) y son paralelos al vector obtenido \(\vec{v}\), ver cómo se construye un plano
\(\pi_1:\begin{cases}A(0,1,-4)&\\\vec{v_r}=(2,4,-1)&\\\vec{v}=(17,-9,-2)&\\\end{cases}\Rightarrow\pi_1\equiv\begin{array}{|crl|}x &y-1&z+4\\ 2&4&-1\\ 17&-9&-2\end{array}=0\Rightarrow\pi_1: 17x+13y+86z+331=0\)
Para calcular el segundo plano se procede de la misma manera utilizando un punto de \(s\) y el vector director de dicha recta
\(\pi_2:\begin{cases}B(0,0,0)&\\\vec{v_s}=(1,1,4)&\\\vec{v}=(17,-9,-2)&\\\end{cases}\Rightarrow\pi_2\equiv\begin{array}{|crl|}x &y&z\\ 1&1&4\\ 17&-9&-2\end{array}=0\Rightarrow\pi_2: 17x+35y-13z=0\)
De forma que la recta buscada será la solución del siguiente sistema de ecuaciones, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}17x+13y+86z+331=0&\\ 17x+35y-13z=0&\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=-\frac{11585}{374}-\frac{17}{2}\lambda&\\ y=\frac{7595}{251}+\frac 92\lambda&\\z=\lambda&\\\end{cases}}\)
b) La distancia vendrá determinada por la siguiente fórmula, ver distancias,
\(d(r,s)=\frac{\vec{AB}(\vec{v_r}\times\vec{v_s})}{|\vec{v_r}\times\vec{v_s}|}\frac{(0,-1,4)\times (17,-9,-2)}{|(17,-9,-2)|}=\frac{0.17+(-1)(-9)+4(-2)}{\sqrt{17^2+(-9)^2+(-2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{374}}=\bbox[yellow]{\frac{\sqrt{374}}{374}}\)
Ejercicio :(Junio 2010 Opción B) (Calificación:2 ptos) Dadas las rectas
\(r\equiv x=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-1};\;\;\) \(s=\begin{cases}x+z=&3\\2x-y=&2\\\end{cases}\)
a) (1 pto) Hallar la ecuación del plano \(\pi\) determinado por \(r\) y \(s\)
b) (1 pto) Hallar la distancia del punto \(A(0,1,-1)\) a la recta \(s\)
a) Primeramente se estudia la posición relativa de ambas rectas, ver cómo calcular la posición relativa entre dos rectas
De la primera recta se obtiene un punto y un vector director, ver cómo obtener el vector director de una recta dada, \(P(0,1,-1)\) y \(\vec{v_{r}}=(1,2,-1)\)
De la segunda recta se tendría \(Q(0,-2,3)\) y \(\vec{v_{s}}=(1,2,-1)\)
Por lo tanto \(\vec{QP}=(0,-3,4)\). Y el determinante a estudiar para calcular su posición relativa, será
\(\begin{array}{|crl|}0 &-3&4\\ 1&2&-1\\ 1&2&-1\end{array}=0\;\hbox{y }\begin{array}{|crl|}0 &-3\\ 1&2\end{array}=2\neq 0\)
El rango es 2 ya que hay un menor 2×2 cuyo determinante es distinto de cero, por lo tanto, la rectas están en el mismo plano y como sus vectores directores son iguales, las rectas son paralelas. En este caso, el plano pedido se calculará con un punto de una de las rectas y el vector \(\vec{QP}\), ver cómo se construye un plano
\(\pi\equiv\begin{cases}P(0,1,-1)&\\ \vec{v_r}=(1,2,-1)&\\ \vec{QP}=(0,-3,4)&\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x &y-1&z+1\\ 1&2&-1\\ 0&-3&4\end{array}=0\Rightarrow\bbox[yellow]{\pi\equiv 5x-4y-3z+1=0}\)
b) Para calcular la distancia de un punto a una recta en \(\mathbb{R}^3\) se utiliza la siguiente fórmula, ver teoría de distancias,
\(d(P,s)=\frac{|\vec{v_s}\times\vec{QA}|}{|\vec{v_r}|}\)
con \(Q\) un punto de \(s\), en este caso, \(Q(0,2,3)\) calculado en el apartado anterior. Por lo tanto, \(\vec{QA}=(0,3,-4)\) y consultando producto vectorial y su significado se obtiene
\(d(P,s)=\frac{|(1,2,-1)\times (0,3,-4)|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}}=\bbox[yellow]{\frac{5\sqrt{3}}{3}}\)
Ejercicio :(Junio 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos) Sea \(\pi\) el plano que contiene a los puntos \(P(1,0,0)\), \(Q(0,2,0)\) y \(R(0,0,3)\). Se pide:
a) (1 pto) Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\)
b) (1 pto) Calcular las coordenadas del punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano \(\pi\)
a) El volumen de un tetraedro viene dado por la siguiente fórmula, ver cómo calcular el volumen de un tetraedro
\(V=\frac 16|\vec{OP}(\vec{OQ}\times\vec{OR})|\)
con \(\vec{OP}\), \(\vec{OQ}\) y \(\vec{OR}\) los vectores que van de cada vértice al origen de coordenadas (que es el cuarto vértice), ver también cómo se calcula el producto mixto
\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}1 &0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3\end{array}=\frac 16 6=\bbox[yellow]{1}\)
b) El punto simétrico \(O’\) del punto \(O\) respecto al plano \(\pi\) se calcula a partir de la proyección del punto \(O\) sobre el plano. Sabiendo que dicha proyección \(M\) es el punto medio del segmento que forma \(O\) con su simétrico \(O’\) se obtiene el resultado, ver cómo calcular un punto simétrico respecto de un plano
El punto \(M\) se calculará como la intersección del plano \(\pi\) con su perpendicular \(r\) que pasa por \(O\)
En este caso,
\(r:\begin{cases}O(0,0,0)&\\\vec{v_r}=\vec{n_{\pi}}=(6,3,2)&\\\end{cases}\Rightarrow r=\begin{cases}x=&6\lambda\\ y=&3\lambda\\ z=&2\lambda\\\end{cases}\)
Por lo tanto, la proyección será la solución de, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(M:\begin{cases}\pi\equiv 6x+3y+2z-6=0&\\r=\begin{cases}x=&6\lambda\\ y=&3\lambda\\ z=&2\lambda\\\end{cases}&\\\end{cases}\Rightarrow \lambda=\frac{6}{49}\)
Por lo tanto, las coordenadas de la proyección \(M\) serán \(M(\frac{36}{49},\frac{18}{49},\frac{12}{49})\)
Dicha proyección es el punto medio entre \(O\) y el punto simétrico buscado, ver cómo se calcula un punto medio, es decir
\(M=\big(\frac{x_o+x_{o’}}{2},\frac{y_o+y_{o’}}{2},\frac{z_o+z_{o’}}{2}\big)=(m_1,m_2,m_3)\)
Sabiendo que \(O(0,0,0)\) y las coordenadas de \(M\), \(M(\frac{36}{49},\frac{18}{49},\frac{12}{49})\), despejando se obtiene el resultado \(\bbox[yellow]{O'(\frac{72}{49},\frac{36}{49},\frac{24}{49})}\)