Ejercicio :(Septiembre 2010 Opción A)(Calificación: 3 ptos) Dadas las rectas
\(r_2\equiv\begin{cases}y=&0\\z=&0\\\end{cases}\), \(r_2\equiv\begin{cases}y=&0\\z=&0\\\end{cases}\)
se pide:
a) (2 ptos) Hallar la ecuación de la recta \(t\) que corta a \(r_1\) y \(r_2\) y es perpendicular a ambas
b) (1 pto) Hallar la mínima distancia entre \(r_1\) y \(r_2\)
a)La perpendicular común a ambas rectas se calcula como la intersección de dos planos que deben contener cada uno a una de las rectas y ser perpendicular a la recta
Para encontrar un vector \(\vec{v}\) perpendicular a ambas rectas, se calcula el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas, ver cómo obtener el vector director de una recta dada
\(\vec{v}=\vec{v_{r_1}}\times\vec{v_{r_2}}=(1,0,0)\times (0,1,1)=(0,-1,1)\)
De esta forma, consultando cómo resolver determinantes, los planos quedarían, ver cómo se construye un plano
\(\pi:\begin{cases}A=&(0,1,3)\\\vec{v_{r_1}}=&(1,0,0)\\\vec{v}=&(0,-1,1)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x &y-1&z-3\\ 1&0&0\\ 0&-1&1\end{array}=0\Rightarrow\pi: -y-z+4=0\)
\(\sigma:\begin{cases}B=&(0,0,0)\\\vec{v_{r_2}}=&(0,1,1)\\\vec{v}=&(0,-1,1)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x &y&z\\ 0&1&1\\ 0&-1&1\end{array}=0\Rightarrow\sigma: 2x=0\)
Luego, la ecuación pedida se hallará resolviendo el siguiente sistema, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(t\equiv\begin{cases}y+z-4=&0\\ 2x=&0\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&0\\ y=&4-\lambda\\ z=&\lambda \\\end{cases}}\)
b) La distancia mínima pedida puede calcularse como la altura, \(h\), del paralelepípido formado por los vectores de las dos rectas dadas y el segmento formado por un punto de cada recta
Consultando cómo hallar el volumen de un tetraedro, se tiene
\(V=\hbox{Base}\times h\Rightarrow d(r_1,r_2)=h=\frac{V}{\hbox{Base}}=\frac{\vec{AB}.(\vec{v_{r_1}}\times\vec{v_{r_2}})}{|\vec{v_{r_1}}\times\vec{v_{r_2}}|}\)
Por el apartado anterior se sabe que \(\vec{v_{r_1}}\times\vec{v_{r_2}}=\vec{v}=(0,-1,1)\) y recordando cómo calcular un producto escalar, se tiene
\(d(r_1,r_2)=\frac{|0+1-3|}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\bbox[yellow]{\sqrt{2}}\)
Ejercicio :(Septiembre 2010 Opción B)
(3 ptos) Dados el plano
\(\pi_1\equiv 2x-3y+z=a\)
y el plano \(\pi_2\) determinado por el punto \(P(0,2,4)\) y los vectores \(\vec{v_1}=(0,2,6)\) y \(\vec{v_2}=(1,0,b)\), se pide:
a) (1 pto) Calcular los valores de \(a\) y \(b\) para que \(\pi_1\) y \(\pi_2\) sean paralelos
b) (1 pto) Para \(a=1\) y \(b=0\), determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_2\)
c) (1 pto) Para \(a=4\) y \(b=-2\), determinar los puntos que están a igual distancia de \(\pi_1\) y \(\pi_2\)
a) Primeramente se calcula la ecuación general para el plano \(\pi_2\), ver cómo se construye un plano y ver cómo resolver determinantes
\(\pi_2\equiv\begin{cases}P(0,2,4)&\\ \vec{v_1}=(0,2,6)&\\ \vec{v_2}=(1,0,b)&\\\end{cases}\Rightarrow\pi_2\equiv\begin{array}{|crl|}x &y-2&z-4\\ 0&2&6\\ 1&0&b\end{array}=0\Rightarrow\pi_2\equiv 2bx+6y-2z-4=0\)
Para que \(\pi_1\) y \(\pi_2\) sean paralelos, se tiene que cumplir, ver cuándo dos planos serán paralelos,
\(\frac{2}{2b}=\frac{-3}{6}=\frac{1}{-2}\neq\frac{a}{4}\Rightarrow \bbox[yellow]{b=-2}\) y \(\bbox[yellow]{a\neq -2}\)
b) Para \(a=1\) se tiene \(\pi_1\equiv 2x-3y+z=1\) y para \(b=0\) se tiene \(\pi_2\equiv 6y-2z=4\)
La recta intersección será la solución del siguiente sistema de ecuaciones, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(r\equiv\begin{cases}2x-3y+z=1&\\ 6y-2z=4&\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{r\equiv\begin{cases}x=&\frac 32\\ y=&\lambda\\ z=&-2+3\lambda\\\end{cases}}\)
c) Para \(a=4\) se tiene \(\pi_1\equiv 2x-3y+z=4\) y para \(b=-2\), \(\pi_2\equiv -4x+6y-2z=4\)
La distancia entre un punto genérico \(P(x,y,z)\) y un plano viene determinado por la siguiente fórmula, ver cómo calcular la distancia entre un punto y un plano
\(d(P,\pi_1)=d(P,\pi_2)\Rightarrow\frac{|2x-3y+z-4|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}=\frac{|2x-3y+z+2|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}\\)
Simplificando se obtiene \(|2x-3y+z-4|=|2x-3y+z+2|\Rightarrow \bbox[yellow]{\pi\equiv 2x-3y+z-1=0}\)
Ejercicio :(Septiembre 2010 Opción B) (Calificación: 3 ptos) Los puntos \(P(1,2,1)\), \(Q(2,1,1)\) y \(A(a,0,0)\) con \(a>3\), determinan un plano \(\pi\) que corta a los semiejes positivos de \(OY\) y \(OZ\) en los puntos \(B\) y \(C\) respectivamente. Calcular el valor de \(a\) para que el tetraedro determinado por los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) y el origen de coordenadas tenga volumen mínimo
El ejercicio pide optimizar (minimizar en este caso) el volumen del tetraedro determinado por el plano \(\pi\) y los planos coordenados
Primeramente se calcula la ecuación general de \(\pi\), ver cómo construir un plano
\(\pi\equiv\begin{cases}P(1,2,1)&\\ \vec{QP}=(-1,1,0)&\\ \vec{AP}=(1-a,2,1)&\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x-1 &y-2&z-1\\ -1&1&0\\ 1-a&2&1\end{array}=0\)
Resolviendo el determinante, ver cómo resolver determinantes, se obtiene la ecuación del plano \(\pi\equiv x+y+(a-3)z=a\Rightarrow\pi\equiv\frac xa+\frac ya+\frac{z}{\frac{a}{a-3}}=1\)
El volumen de un tetraedro viene dado por la siguiente fórmula, ver cómo calcular el volumen de un tetraedro y ver también cómo se calcula el producto mixto
\(V=\frac 16|\vec{a}(\vec{b}\times\vec{c})|=\frac 16\begin{array}{|crl|}a &0&0\\ 0&a&0\\ 0&0&\frac{a}{a-3}\end{array}=\frac 16 \frac{a^3}{a-3}\)
Para calcular el mínimo del volumen se deriva \(V\) y se iguala a cero, ver cómo obtener un mínimo de una función y la tabla de derivadas
\(V’=0\Rightarrow\frac{2a^3-9a^2}{(a-3)^2}\Rightarrow a=0\) y \(a=\frac 92\)
Como el enunciado dice que \(a>3\), se descarta la solución \(a=0\), de forma que la solución será \(a=\frac 92\)
Para comprobar si se trata de un mínimo o un máximo, se evalúa el signo de \(V’\) antes y después del valor \(\frac 92\): \(V'(0)<0\) y \(V'(5)>0\), luego \(\bbox[yellow]{a=\frac 92}\) es un mínimo