Geometría en Selectividad 2014

Ejercicio :(Septiembre 2014 Opción A)(Calificación: 2 ptos)

Dados los puntos \(A(2,0,-2)\), \(B(3,-4,-1)\), \(C(5,4,-3)\) y \(D(0,1,4)\), se pide:

a) (1 pto) Calcular el área del triángulo de vértices \(A, B y C\)
b) (1 pto) Calcular el volumen del tetraedro \(ABCD\)

a) El área del triángulo se hallará calculando la norma del producto vectorial de \(\vec{AB}\) y \(\vec{BC}\) y dividiéndola entre dos

Teniendo en cuenta que \(\vec{AB}=(1,-4,1)\) y \(\vec{BC}=(2,8,-2)\) y la teoría sobre cómo se calcula un producto vectorial, entonces

\(A=\dfrac 12\begin{array}{|crl|}1 &-4&1\\ 2&8&-2\end{array}=\dfrac{\sqrt{272}}{2}=\boxed{8,25 u^2}\)

b) El volumen de un tetraedro se obtiene hallando el producto mixto de

\(V=\dfrac 16|\vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})|\), con \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) los vectores que unen los vértices del tetraedro buscado, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro

En este caso, teniendo en cuenta los vectores hallados en el apartado anterior, \(\vec{AB}=(1,-4,1)\) y \(\vec{BC}=(2,8,-2)\) y hallando \(\vec{AD}=(-2,1,6)\), se tiene

\(V=\dfrac 16\begin{array}{|crl|}1 &-4&1\\ 2&8&-2\\ -2&1&6\end{array}=\boxed{\dfrac{50}{3}u^3}\)

 

Ejercicio :(Septiembre 2014 Opción A) (Calificación: 2 ptos) Dados los planos

\(\pi_1\equiv 2x+z-1=0\quad\), \(\pi_2\equiv x+z+2=0\quad\), \(\pi_3\equiv x+3y+2z-3=0\),

se pide:
a) (1 pto) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por \(\pi_1\) y \(\pi_2\)

b) (1 pto) Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano \(\pi_3\)

a) Las ecuaciones paramétricas se obtienen dando a una variable el valor \(\lambda\) y despejando el resto de variables en función de dicho valor, ver cómo hallar las ecuaciones paramétricas

\(\begin{cases}2x+z-1=&0\\ x+z+2=&0 \\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}z=&\lambda\\ x=&-2-\lambda \\\end{cases}\Rightarrow\boxed{r\equiv\begin{cases}x=&-2-\lambda\\ y=&0\\ z=&\lambda \\\end{cases}}\)

 

b) Recordando la expresión del producto escalar entre dos vectores, ver producto escalar entre dos vectores, y sabiendo que el vector perpendicular al plano \(\pi_3\) es \(\vec{v_{\pi_3}}=(1,3,2)\), ver teoría sobre planos, y con \(\alpha\) el ángulo formado entre el vector perpendicular al plano y la recta, se tiene,

\(\cos\alpha=\dfrac{\vec{v_r}\cdot\vec{v_{\pi_3}}}{|\vec{v_r}||\vec{v_{\pi_3}}|}=\dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{2}}\Rightarrow\alpha=79,10\)º

Como \(\alpha\) era el ángulo formado entre el vector perpendicular al plano y el vector director de la recta \(r\), para encontrar el ángulo pedido, \(\beta\), formado entre la recta y el plano, se tiene \(\beta= 90-\alpha=10,8933\)º

Por lo tanto, \(\boxed{\sin\beta=0,1889}\)

Ejercicio :(Septiembre 2014 Opción B)(Calificación: 3 ptos) Dada la función

Dados el plano \(\pi\) y la recta \(r\) siguientes:
\(\pi\equiv 2x-y+2z+3=0, r\equiv\begin{cases}x=&1-2t\\\ y=&2-2t\\\ z=&1+t\\\end{cases}\)

a) (1 pto) Estudiar la posición relativa de \(r\) y \(\pi\)
b) (1 pto) Calcular la distancia entre \(r\) y \(\pi\)
c) (1 pto) Calcular el punto simétrico \(P'\) de \(P(3,2,1)\) respecto del plano \(\pi\)

a) Sustituyendo los valores de la recta en el plano \(\pi\), se tiene \(2.(1-2t)-(2-2t)+2(1+t)+3=0\Rightarrow 5=0\). Por lo tanto, como la ecuación hallada no tiene solución, \(\boxed{r\hbox{ y }\pi\hbox{ son paralelos}}\)

b) Como la recta y el plano son paralelos, basta calcular la distancia de cualquier punto de la recta al plano para calcular la distancia que hay entre \(r\) y \(\pi\), ya que todos los puntos distarán del plano lo mismo

Tomando el valor \(t=0\) se tiene el punto \(P(1,2,1)\)

Consultando cómo calcular la distancia de una recta a un plano, se tiene

\(d(P,\pi)=\dfrac{|p_1.a+p_2.b+p_3.c+d|}{(\sqrt{a^2+b^2+c^2})}=\dfrac{|2.1-1.2+2.1+3|}{(\sqrt{2^2+1^2+2^2})}=\boxed{\frac 53\hbox{ unidades}}\)

c) Revisar la parte en la que se explica cómo hallar un punto simétrico

Primeramente se calculará una recta que pasa por el punto \(P\) y es perpendicular a \(\pi\),

\(r'\equiv\begin{cases}x=&3+2t\\\ y=&2-t\\\ z=&1+2t\\\end{cases}\)

Ahora se calcula el punto de corte entre \(r'\) y \(\pi\)

\(2(3+2t)-2-t+2(1+2t)+3=0\Rightarrow t=-1\)

Por lo tanto, el punto de corte será \((1,3,-1)\), además, este punto es el punto medio \(M\) entre el punto \(P\) y el simétrico \(P'\), así que

\(1 = \dfrac{x + 3}{2} \Rightarrow x=-1,\;\; 3=\dfrac{y+2}{2}\Rightarrow y=4, \;\; -1=\dfrac{z+1}{2}\Rightarrow z=-3\)

Por lo tanto, el punto simétrico será \(\boxed{P'(-1, 4, -3)}\)

Ver más ejercicios de Geometría en Selectividad