Geometría en Selectividad 2014 II

Ejercicio :(Junio 2014 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Dado el punto \(P(1,0,1)\), el plano \(\pi\equiv x+5y-6z=1\) y la recta \(r:\begin{cases}x=&0\\y=&0\\\end{cases}\), se pide:

a) (1 pto) Calcular el punto \(P’\) simétrico a \(P\) respecto de \(\pi\)
b) (1 pto) Hallar la distancia de \(P\) a \(r\)
c) (1 pto) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas \(O(0,0,0)\) y las ntersecciones de \(\pi\) con los ejer coordenados \(OX\), \(OY\) y \(OZ\)

c) \(P’\) se calculará como simétrico de \(P\) respecto de \(M’\), ver cómo calcular el simétrico respecto de un plano

\(M’\) se calculará como intersección de la recta \(s\) y el plano \(\pi\), con \(s\) la recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P\),

\(\begin{cases}\vec{n_{\pi}}=(1,5,-6)&\\P(1,0,1)\in r&\\\end{cases}\Rightarrow s\equiv\begin{cases}x=&1+\lambda\\y=&5\lambda\\ z=&1-6\lambda\\\end{cases}\)

Sustituyendo \(s\) en \(\pi\) se obtiene \(\lambda=-\frac 35\). Incluyendo este valor obtenido en \(s\), se halla el punto \(M’\) buscado, \(M'(\frac 25,-3, \frac{23}{5})\)

Sabiendo que \(M’\) era el punto medio del segmento \(\vec{PP’}\) e igualando coordenadas, se calculará

\(M’\big(\frac{x_p+x_{p’}}{2},\frac{y_p+y_{p’}}{2},\frac{z_p+z_{p’}}{2}\big)\Rightarrow\bbox[yellow]{P'(-\frac 15,-6,\frac{41}{5})}\)

b) Consultando cómo calcular la distancia entre un punto y una recta, se tiene que \(\vec{v_r}=(0,0,1)\), ver cómo calcular el vector director de una recta, y \(\vec{P_rP}=(1,0,1)\), con \(P_r=(0,0,0)\), un punto de la recta \(r\), se tiene

\(d(P,r)=\frac{|(1,0,1)\times (0,0,1)|}{|\vec{v_r}|}=\frac11=\bbox[yellow]{1}\)

c) El volumen de un tetraedro se obtiene hallando el producto mixto de

\(V=\frac 16|\vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})|\), con \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) los vectores que unen los vértices del tetraedro buscado, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro

En este caso, los vértices del tetraedro pedido serán los puntos de corte del plano \(\pi\) dado en el enunciado y los ejes coordenados,

\(OX\Rightarrow \vec{a}=(1,0,0)\),\(OY\Rightarrow \vec{b}=(0,\frac 15,0)\) y \(OZ\Rightarrow \vec{c}=(0,0,-\frac 16)\), por lo tanto, recordando cómo se resuelven determinantes, se tien

\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}1 &0&0\\ 0&\frac 15&0\\ 0&0&-\frac 16\end{array}=\bbox[yellow]{\frac{1}{180}u^3}\)
Ejercicio :(Junio 2014 Opción B) (Calificación: 3 ptos)

Dados el plano \(\pi\equiv 2x-y=2\) y la recta \(r\equiv\begin{cases}x=&1\\\ y-2z=&2\\\end{cases}\)

a) (1 pto) Estudiar la posición relativa de \(r\) y \(\pi\)
b) (1 pto) Determinar el plano que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\)
c) (1 pto) Determinar la recta que pasa por \(A(-2,1,0)\), corta a \(r\) y es paralela a \(\pi\)

a) Escribiendo la recta en su ecuación paramétrica, ver expresiones de la recta, se tiene

\(r\equiv\begin{cases}x=&1\\\ y=&2+2\lambda\\\ z=&\lambda\\\end{cases}\)

Sustituyendo estos valores en el plano \(\pi\), se tiene \(2.1-(2+2\lambda)=2\Rightarrow\lambda=-1\). Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{r\hbox{ y }\pi\hbox{ se cortan en el punto }(1,0,-1)}\)

b) El plano pedido \(\pi’\) se construirá con el vector propio de \(\pi\), el vector director de \(r\) y un punto que pase por \(r\), ver cómo se construye un plano y cómo resolver determinantes,

\(\begin{cases}\vec{n_{\pi}}=&(2,-1,0)\\\ \vec{v_r}=&(0,2,1)\\\ P_r&(1,2,0)\\\end{cases}\Rightarrow \pi’:\begin{array}{|crl|} 2 &0&x-1\\ -1&2&y-2\\ 0&1&z\end{array}=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x+2y-4z-5=0}\)

c) Primeramente se calculará el plano paralelo a \(\pi\) que pase por \(A\), es decir, un plano \(\pi’\) que tenga el mismo vector normal que \(\pi\), ver vector propio de un plano, y que pase por \(A\):

\(\pi’: 2x-y+\lambda=0\Rightarrow -4-1+\lambda=0\Rightarrow\lambda=5\Rightarrow \pi’: 2x-y+5=0\)

Se calcula ahora el punto de corte del plano obtenido con la recta \(r\),

\(2-(2+2\lambda)+5=0\Rightarrow\lambda=\frac 52\Rightarrow P(1,7,\frac 52)\)

Por lo tanto, la recta \(s\) pedida será aquélla que pase por por los puntos \(A\) y \(P\), ver cómo construir una recta con dos puntos dados,

\(\begin{cases}\vec{v_{s}}=\vec{AP}&(3,6,\frac 52)\\\ P_s=&(-2,1,0)\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{s:\begin{cases}x=&-2+3\lambda\\\ y=&1+6\lambda\\\ z=&\frac 52\lambda\\\end{cases}}\)

 

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