Geometría en Selectividad 2013


Ejercicio :(Junio 2013 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Dados el punto \(P(-1,0,2)\) y las rectas

\(\displaystyle r:\begin{cases}x-z=&1\\\ y-z=&-1\\\end{cases}\), \(\displaystyle s:\begin{cases}x=&1+\lambda \\\ y=&\lambda \\\ z=&3\\\end{cases}\)

Se pide:
a) (1 pto) Determinar la posición relativa de \(r\) y \(s\)
b) (1 pto) Determinar la ecuación de la recta que pasa por \(P\) y corta a \(r\) y \(s\)
c) (1 pto) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a \(r\) y \(s\)

a) La posición relativa entre dos rectas se determina estudiando el rango de la matriz formada por los vectores directores de cada recta y un vector formado por un punto de cada recta, ver posiciones relativas

En este caso, el vector director de \(r\) será \(\vec{v}=(1,1,1)\), ver cómo calcular el vector director de una recta y un punto de \(r\) será \(A(1,-1,0)\)

En el caso de la recta \(s\) se tiene \(\vec{u}=(1,1,0)\) y \(B(1,0,3)\)

De esta manera, el vector formado por los puntos \(A\) y \(B\) sería \(\vec{AB}=(1,0,3)-(1,1,0)=(0,1,3)\)

Luego la matriz a estudiar será \(\begin{pmatrix}0 &1&3\\ 1&1&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}\)

Consultando cómo calcular determinantes y posición relativa entre dos rectas, se tiene

\(\begin{array}{|crl|} 0 &1&3\\ 1&1&1\\ 1&1&0\end{array}=1\neq 0\Rightarrow Rg=3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{las rectas se cruzan pero no se cortan}}\)

b) La recta pedida será la intersección entre el plano formado por la recta \(r\) y el punto \(P\) y el plano formado por la recta \(s\) y el punto \(P\), ver cómo formar planos

\(\displaystyle \pi_1:\begin{cases}P&(-1,0,2)\\\ \vec{v}=&(1,1,1)\\\ \vec{AP}=&(-2,1,2)\\\end{cases}\)

Entonces,

\(\begin{array}{|crl|}x+1 &y-0&z-2\\ 1&1&1\\ -2&1&2\end{array}=0\Rightarrow\pi_1\equiv x-4y+3z-5=0\)

Y el segundo plano será

\(\displaystyle \pi_2:\begin{cases}P&(-1,0,2)\\\ \vec{u}=&(1,1,0)\\\ \vec{BP}=&(-2,0,-1)\\\end{cases}\)

Entonces,

\(\begin{array}{|crl|}x+1 &y-0&z-2\\ 1&1&0\\ -2&0&-1\end{array}=0\Rightarrow\pi_2\equiv -x+y+2z-5=0\)

Luego, la recta pedida será \(\bbox[yellow]{t\equiv\begin{cases}x-4y+3z-5&=0\\\ -x+y+2z-5&=0\\\end{cases}}\)

c) Para calcular la perpendicular a dos rectas se calcula como intersección de dos planos. Para ello se calcula el producto vectorial entre los vectores directores de ambas rectas, ver cómo calcular el producto vectorial

\(\vec{w}=\begin{array}{|crl|}\vec{x} &\vec{y}&\vec{z}\\ 1&1&1\\ 1&1&0\end{array}=(-1,1,0)\)

Con el vector obtenido y cada recta se determinarán los dos planos cuya intersección será la perpendicular común a \(r\) y a \(s\)

\(\displaystyle \pi_3:\begin{cases}A&(1,-1,0)\\\ \vec{v}=&(1,1,1)\\\\ \vec{w}=&(-1,1,0)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x-1 &y+1&z\\ 1&1&1\\ -1&1&0\end{array}=0\Rightarrow\pi_3\equiv x+y-2z=0\)

y

\(\displaystyle \pi_4:\begin{cases}B&(1,0,3)\\\ \vec{u}=&(1,1,0)\\\\ \vec{w}=&(-1,1,0)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x-1 &y&z-3\\ 1&1&0\\ -1&1&0\end{array}=0\Rightarrow\pi_4\equiv z-3=0\)

Luego la recta perpendicular será \(\bbox[yellow]{t_1\equiv\begin{cases}x+y-2z&=0\\\ z-3&=0\\\end{cases}}\)

Ejercicio :(Junio 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
a) (1 pto) Hallar los puntos de corte de la recta de dirección \((2,1,1)\) y que pasa por el punto \(P(4,6,2)\), con la superficie esférica de centro \(C(1,2,-1)\) y radio \(\sqrt{26}\)

b) (1 pto) Hallar la distancia del punto \(Q(-2,1,0)\) a la recta \(r\equiv\frac{x-1}{2}=y+2=\frac{z-3}{2}\)

a) Se calcula en primer lugar la recta a partir de la dirección y el punto dados, ver cómo calcular una recta a partir de un vector y un punto,

\(\displaystyle s:\begin{cases}x=&4+2\lambda\\\ y=&6+\lambda\\\ z=&2+\lambda\\\end{cases}\)

Por otra parte, con el centro y el radio de la esfera se construye la ecuación de dicho lugar geométrico,

\(C\equiv (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=(\sqrt{26})^2\)

Los puntos comunes a la recta y a la superficie \(C\) se halla resolviendo el sistema formado por las ecuaciones que las definen,

\(\begin{cases}x=&4+2\lambda\\\ y=&6+\lambda\\\ z=&2+\lambda\\\ C\equiv (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=(\sqrt{26})^2\\\end{cases}\)

Resolviendo el sistema de ecuaciones, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones, se obtienen los puntos buscados \(\bbox[yellow]{A(\frac{10}{3},\frac{17}{3},\frac{5}{3})}\) y \(\bbox[yellow]{B(-8,2,-2)}\)

b) Consultando cómo calcular la distancia entre un punto y una recta, se tiene

\(d(Q,r)=\frac{|(-9,0,9)|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{\sqrt{162}}{\sqrt{9}}=\bbox[yellow]{\sqrt{18}}\)

 

Ejercicio :(Junio 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Dados el punto \(P(1,0,-1)\), el plano \(\pi\equiv 2x-y+z+1=0\) y la recta \(\begin{cases}-2x+y-1=&0\\\ 3x-z-3=&0\\\end{cases}\)

a) (1,5 pto) Determinar la ecuación del plano que pasa por \(P\), es paralelo a la recta \(r\) y perpendicular al plano \(\pi\)

b) (0,5 pto)Hallar el ángulo entre \(r\) y \(\pi\)

a) Consultando cómo construir un plano a partir de un punto, un plano y una recta, y cómo obtener vectores directores de una recta y de un plano, se obtiene

\(\sigma\equiv\begin{cases}P=&(1,0,-1)\\\ \vec{v_r}=&(1,2,3)\\\ \vec{n_r}=&(2,-1,1) \\\end{cases}\Rightarrow\sigma\equiv\begin{array}{|crl|}x-1 &y&z+1\\ 1&2&3\\ 2&-1&1\end{array}=0\Rightarrow\bbox[yellow]{\sigma:x+y-z-2=0}\)

b) Utilizando la fórmula para calcular el ángulo entre una recta y un plano, se obtiene

\(\sin\alpha=\frac{(1,2,3).(2,-1,2)}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{6}}\Rightarrow\bbox[yellow]{\alpha=19,1}\)

Ver más ejercicios de Geometría en Selectividad