Ejercicio :(Junio 2012 Opción A)(Calificación: 3 ptos) Dados los puntos \(P_1(1,3,-1)\), \(P_2(a,2,0)\), \(P_3(1,5,4)\) y \(P_4(2,0,2)\), se pide:
a) (1 pto) Hallar el valor para \(a\) para que los cuatro puntos estén en el mismo plano
b) (1 pto) Hallar los valores de \(a\) para que el tetraedro con vértices en \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) y \(P_4\) tenga volumen igual a \(7\)
c) (1 pto) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de \(P_1\) y \(P_3\)
a) Para que los cuatro punto pertenezcan al mismo plano, el rango de la matriz formada por los vectores \(\vec{P_1P_2}\), \(\vec{P_1P_3}\) y \(\vec{P_1P_4}\) debe ser dos, ver posiciones relativas
Primeramente se hallan los vectores:
\(\vec{P_1P_2}=(a-1,-1,1)\), \(\vec{P_1P_3}=(0,2,5)\) y \(\vec{P_1P_4}=(1,-3,3)\)
Y se forma el determinante con los vectores obtenidos: \(\begin{array}{|crl|}a-1 & -1 & 1\\0 & 2 & 5\\1 & -3 & 3\end{array}=0\)
Consultando la teoría de cómo se resuelven determinantes, se obtiene que el determinante es cero si \(7(3a-4)=0\Rightarrow\bbox[yellow]{a=\frac 43}\)
b) El volumen de un tetraedro con vértices \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) y \(P_4\) viene dado por la siguiente fórmula, ver geometría de un tetraedro y consultar también cómo resolver determinantes
\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}\vec{P_1P_2}\\\vec{P_1P_3}\\\vec{P_1P_4}\end{array}=\frac 16\begin{array}{|crl|}a-1 & -1 & 1\\0 & 2 & 5\\1 & -3 & 3\end{array}=\frac 16|7(3a-4)|=7\Rightarrow \bbox[yellow]{a=\frac{10}{3}}\) y \(\bbox[yellow]{a=-\frac 23}\)
c) Se buscan los puntos \(P(x,y,z)\) que estén a igual distancia de \(P_1\) y de \(P_3\), ver fórmula para la distancia entre dos puntos
\(\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-5)^2+(z-4)^2}\)
Simplificando las raíces elevando al cuadrado en ambos lados del igual y agrupando los términos se tiene la ecuación del plano pedido
\(\bbox[yellow]{\pi: 4y+10z-31=0}\)
Ejercicio :(Junio 2012 Opción B) (Calificación: 3 ptos) Dadas las rectas
\(r_1\equiv\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z}{2}\) y \(\begin{cases}x=&-1-\lambda\\y=&3+\lambda \\z=&5\\\end{cases}\)
Se pide:
a) (1 pto) Estudiar su posición relativa
b) (2 pto) Hallar la mínima distancia de \(r_1\) a \(r_2\)
a) Para estudiar la posición relativa de dos rectas, se evalúa el determinante de la matriz formada por los vectores directores de las rectas y un vector formado por un punto de cada recta, ver posiciones relativas entre rectas y ver cómo obtener el vector director de una recta dada
En este caso
\(r_1:\begin{cases}A&(2,1,0)\\\vec{v}=&(3,-5,2)\\\end{cases}\) y \(r_2:\begin{cases}B&(-1,3,5)\\\vec{u}=&(-1,1,0)\\\end{cases}\)
Además, \(\vec{AB}=(-3,2,5)\). De forma que el determinante a estudiar será, ver cómo resolver determinantes
\(\begin{array}{|crl|}-3 & 2 & 5\\3 & -5 & 2\\-1 & 1 & 0\end{array}=-8\neq 0\Rightarrow\hbox{ el rango del determinante es tres}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{las rectas se cruzan pero no se cortan}}\)
b) La distancia mínima entre dos rectas que se cruzan pero no se cortan se calcula como, ver fórmulas de distancias,
\(d(r_1,r_2)=\frac{|\vec{AB}.(\vec{v}\times\vec{u})|}{|\vec{v}\times\vec{u}|}\)
El numerador se calcula como, ver cómo resolver determinantes
\(|\vec{AB}.(\vec{v}\times\vec{u})|=\begin{array}{|crl|}-3 & 2 & 5\\ 3 & -5 & 2\\ -1 & 1 & 0\end{array}=-8\)
Y consultando cómo se calcula un producto vectorial se obtiene el denominador \(\vec{v}\times\vec{u}=(-2,-2,-2)\)
De forma que \(d(r_1,r_2)=\frac{|-8|}{2\sqrt{3}}=\bbox[yellow]{\frac{4\sqrt{3}}{3}}\)
Ejercicio :(Septiembre 2012 Opción A)(Calificación: 2 ptos) Se dan la recta \(r\) y el plano \(\pi\), mediante
\(r\equiv\frac{x-4}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{3}\) y \(\pi: 2x+y-2z-7=0\)
Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno
Escribiendo la recta en coordenadas paramétricas se tiene
\(\begin{cases}x=&4+2\lambda\\y=&1-\lambda \\z=&2+3\lambda \\\end{cases}\)
Consultando la fórmula de la distancia de un punto a un plano y tomando como punto \(P\) las coordenadas paramétricas halladas de \(r\), se tiene
\(d(P,\pi)=\frac{|2(4+2\lambda)+(1-\lambda)-2(2+3\lambda)-7|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=1\Rightarrow\lambda=-\frac 53\) y \(\lambda=\frac 13\)
Por lo que los puntos pedidos serían \(\bbox[yellow]{A(\frac 23,\frac 83, -3)\;\hbox{y }B(\frac{14}{3},\frac 23,3)}\)