\[\]Ejercicio 4: Resolver
a) \(\frac x2+\frac{x+1}{7}-x+2<0\)
b) \(4x-\frac{3-2x}{4}<\frac{3x-1}{3}+\frac{37}{12}\)
c) \(\frac{2x+3}{4}>\frac{x+1}{2}+3\)
Recordar la teoría sobre inecuaciones
a) \(\frac x2+\frac{x+1}{7}-x+2<0\Rightarrow \frac{7x}{14}+\frac{2x+2}{14}-\frac{14x+28}{14}<\frac{0}{14}\Rightarrow 7x+2x+2-14x-28<0\Rightarrow -5x<26\Rightarrow x>-\frac{26}{5}\Rightarrow\bbox[yellow]{(-\frac{26}{5}, \infty)}\)
b) \(4x-\frac{3-2x}{4}<\frac{3x-1}{3}+\frac{37}{12}\Rightarrow\frac{48x}{12}-\frac{9-6x}{12}<\frac{12x-4}{12}+\frac{37}{12}\Rightarrow 48x-9+6x<12x-4+37\Rightarrow 42x<42\Rightarrow x<1\Rightarrow\bbox[yellow]{(-\infty, 1)}\)
c) \(\frac{2x+3}{4}>\frac{x+1}{2}+3\Rightarrow\frac{2x+3}{4}>\frac{2x+2}{4}+\frac{12}{4}\Rightarrow 2x-2x>14-3\Rightarrow 0x>11\Rightarrow\) contradicción \(\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{no tiene solución}}\)
\[\]Ejercicio 5: Resolver
a) \(x^2-5x+6<0\)
b) \(x^2-6x+8>0\)
c) \(7x^2-3x>0\)
d) \(2x^2-16x+24>0\)
Para resolver el ejercicio se debe resolver la ecuación de grado dos y comprobar si antes y después de las soluciones obtenidas se cumple o no la desigualdad del enunciado, para ello, recordar primeramente cómo resolver ecuaciones de segundo grado y la teoría sobre inecuaciones
a) \(x^2-5x+6<0\Rightarrow x=\frac{5\pm\sqrt{25-4\cdot 1\cdot 6}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}\Rightarrow x=2, x=3\Rightarrow\bbox[yellow]{(-\infty, 2)\cup (3,\infty)}\)
b) \(x^2-6x+8>0\Rightarrow x=\frac{6\pm\sqrt{36-4\cdot 1\cdot 8}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}\Rightarrow x=4, x=2\Rightarrow\bbox[yellow]{(-\infty,2)\cup (4,\infty)}\)
c) \(7x^2-3x>0\Rightarrow x(7x-3)>0\Rightarrow x>0, 7x-3>0\Rightarrow x>\frac 37\Rightarrow\bbox[yellow]{(-\infty, 0)\cup (\frac 37,\infty)}\)
d) \(2x^2-16x+24>0\Rightarrow x=\frac{16\pm\sqrt{256-4\cdot 2\cdot 24}}{4}=\frac{16\pm 8}{4}\Rightarrow x=6, x=2\Rightarrow\bbox[yellow]{(-\infty, 2)\cup (6, \infty)}\)
\[\] Ejercicio 6: Resolver las siguientes inecuaciones
1) \(x(x+3)-2x<4x+4\)
2) \(x(x^2+x)-(x+1)(x^2-2)>-4\)
Para resolver el ejercicio se despeja la \(x\) y se comprueba si antes y después de la solución obtenida se cumple o no la desigualdad del enunciado, para ello, recordar primeramente cómo resolver ecuaciones y la teoría sobre inecuaciones
1) \(x(x+3)-2x<4x+4\Rightarrow x^2+3x-2x-4x-4>0\Rightarrow x^2-3x-4>0\Rightarrow x=\frac{3\pm\sqrt{9-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2}=\frac{3\pm 5}{2}\Rightarrow x=4, x=-1\Rightarrow\bbox[yellow]{(-\infty, -1)\cup (4, \infty)}\)
2) \(x(x^2+x)-(x+1)(x^2-2)>-4\Rightarrow x^3+x^2-(x^3-2x+x^2-2)>-4\Rightarrow 2x+6>0\Rightarrow x>-3\Rightarrow\bbox[yellow]{(-3,\infty)}\)