Ejercicios de Integrales definidas I

Ejercicio 1: Comprobar el valor de la siguiente integral definida \(\displaystyle\int_0^3 3xdx\)

La integral es directa, ver la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, así que se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_0^3 3xdx=\dfrac{3x^2}{2}\Big|_0^3=\frac{27}{2}-0\)

De forma que el resultado final sería \(\boxed{\displaystyle\frac{27}{2}}\)

Ejercicio 2: Calcular el área de la gráfica \(y=x-x^2\) en el intervalo \([0,1]\)

El área de una función en un intervalo se calcula integrando dicha función entre los límites del intervalo pedido, ver cómo calcular áreas de funciones. En este caso queda,

\(\displaystyle\int_0^1x-x^2dx\)

Teniendo en cuenta que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales y mirando la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_0^1x-x^2dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^1=\frac{1}{2}-\frac 13-0\)

De forma que el resultado final sería \(\boxed{\displaystyle\frac{1}{6}}\)

 

Ejercicio 3: Comprobar el valor de la siguiente integral definida \(\displaystyle\int_1^2 (\frac{4}{x^2}-3)dx\)

Reescribiendo la integral queda

\(\displaystyle\int_1^2 (\frac{4}{x^2}-3)dx=\displaystyle\int_1^2 (4x^{-2}-3)dx\)

Sabiendo que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales, y consultando la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, es posible hallar el resultado resolviendo la integral y evaluándola en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_1^2 4x^{-2}-3dx=-\dfrac{4}{x}-3x\Big|_1^2=-\frac{4}{2}-6-(-4-3)\)

De forma que el resultado es \(\boxed{\displaystyle -1}\)

Ejercicio 4: Calcular el área de la gráfica \(y=\cos\pi x\) en el intervalo \([0,\frac 12]\)

Recordando que el área de una función en un intervalo se calcula integrando dicha función entre los límites del intervalo pedido, consultar la sección cómo calcular áreas de funciones.

Por lo tanto, en este caso se tiene

\(\displaystyle\int_0^{\frac 12}\cos\pi xdx\)

Consultando la tabla de integrales, en concreto la integral de la función coseno, se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_0^{\frac 12}\cos\pi xdx=\dfrac{1}{\pi}\Big|_0^{\frac 12}=\frac{1}{\pi}-0\)

De forma que el resultado final sería \(\boxed{\displaystyle\frac{1}{\pi}}\)

 

Ejercicio 5: Calcular el área de la región \(y=4x^2+2\) entre \(x=0\), \(x=2\), \(y=0\)

El área de una función en un intervalo se calcula integrando dicha función entre los límites del intervalo pedido, ver cómo calcular áreas de funciones, en este caso la función viene dada como región entre dos funciones, \(y=4x^2+2\) e \(y=0\), por lo que quedaría

\(\displaystyle\int_0^24x^2+2-0dx\)

Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales y mirando la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_0^24x^2+2-0dx=\dfrac{4x^3}{3}+2x\Big|_0^2=\frac{32}{3}+4\)

De forma que el resultado final sería \(\boxed{\displaystyle\frac{44}{3}}\)

 

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