\[\]Ejercicio 1: Comprobar el valor de la siguiente integral definida \(\displaystyle\int_{-1}^1(\sqrt[3]{x}-2)dx\)
La integral es directa, ver la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, así que se resuelve la integral y se evalúa el resultado en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,
\(\displaystyle\int_{-1}^1(\sqrt[3]{x}-2)dx=\frac{3x^{\frac 43}}{4}-2x\Big|_{-1}^1\)
De forma que el resultado final sería \(\bbox[yellow]{\displaystyle -4}\)
Ejercicio 2: Calcular el área que encierran la gráfica de la función \(f(x)=3x^2+x-2\) y \(g(x)=4x+4\)
El área de una función en un intervalo se calcula integrando dicha función entre los límites del intervalo pedido, ver cómo calcular áreas de funciones, en este caso la función viene dada como región entre dos funciones, \(f(x)=3x^2+x-2\) y \(g(x)=4x+4\), por lo que para calcular los límites de integración se debe primero hallar los puntos de corte de ambas gráficas
Basta igualar la expresión de ambas funciones para encontrar los puntos donde intersecan:
\(\displaystyle 3x^2+x-2=4x+4\Rightarrow 3x^2-3x-6=0\Rightarrow x=2\), \(x=-1\)
De forma que el área viene definida como, ver cómo calcular áreas de funciones,
\(\displaystyle\int_{-1}^2|f(x)-g(x)|dx=\int_{-1}^23x^2-3x-6dx=x^3-\frac 32x^2-6x\Big|_{-1}^2=8-6-12-(-1-\frac{3}{2}+6)\)
De forma que el resultado final sería \(\bbox[yellow]{\displaystyle \frac{27}{2}}\)
\[\] Ejercicio 3: Comprobar el valor de la siguiente integral definida \(\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x-\frac{1}{x^2})dx\)
Sabiendo que la resta de integrales es igual a la integral de la resta, ver operaciones con integrales, y consultando la tabla de integrales, es posible hallar el resultado resolviendo la integral y evaluándola en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,
\(\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x-\frac{1}{x^2})dx=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}\Big|_{-2}^{-1}=\frac 12-1-(\frac 42-\frac 12)\)
De forma que el resultado final es \(\bbox[yellow]{-2}\)
\[\]Ejercicio 4: Calcular el área de la gráfica \(y=\sqrt[3]{2x}\) en el intervalo \([0,1]\)
Recuérdese en primer lugar que el área de una función en un intervalo se calcula integrando dicha función entre los límites del intervalo pedido, consultar la sección cómo calcular áreas de funciones
Por lo tanto, en este caso hay que calcular
\(\displaystyle\int_0^{1}\sqrt[3]{2x}dx\)
Consultando además la tabla de integrales, se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,
\(\displaystyle\int_0^{1}\sqrt[3]{2x}dx=\frac{1}{2}\frac{(2x)^{\frac 43}}{\frac 43}\Big|_0^{1}\)
Por lo tanto, el resultado final es:\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{3}{4}}\)
\[\]Ejercicio 5: Calcular el área encerrada entre la gráfica \(f(x)=\frac{5x^2}{x^3+8}\), el eje de abcisas, la recta \(x=0\) y la recta \(x=2\)
El área de una función se calcula integrando dicha función entre los límites del intervalo pedido, ver cómo calcular áreas de funciones.
En este caso la función viene dada como región entre dos funciones, \( f(x)=\frac{5x^2}{x^3+8}\) y el eje de abcisas \(y=0\), de forma que hay que comprobar los puntos en los que se cortan las funciones
Es decir, hay que comprobar si la función corta al eje de abcisas en el intervalo de integración \([0, 2]\),
\(f(x)=0\Rightarrow x = 0\), luego la gráfica de la función está por encima o por debajo del eje de abcisas en todo el intervalo, por tanto, el área será
\(\displaystyle\int_0^2\frac{5x^2}{x^3+8}dx\)
Consultando la tabla de integrales se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,
\(\displaystyle\int_0^2\frac{5x^2}{x^3+8}dx=\frac 53\ln|x^3+8|\Big|_0^2\)
De forma que el resultado final sería \(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 53\ln2}\)
Ver ejercicios de repaso de Integrales definidas